推 herstein:他的解釋基本上沒有問題... 03/05 17:31
※ 引述《Babbage (驕傲體現於健忘)》之銘言：
: ※ 引述《LuisSantos ( )》之銘言：
: : 1.
: : x dy - y dx
: : Let ω = -------------- , (x , y) 屬於 R^2 - {0} .
: : x^2 + y^2
: : Show that ω is a closed 1-form , but not exact on R^2 - {0} .
: closed:d一次看是不是零就知道了
: exact:假設是的話,ω=df.
: 在單位圓上積分會得到零,
: 但是另一方面,換成極座標,ω=dθ,
: ∫dθ=2π非零,
: 矛盾.
: 故不存在f,也就是說,ω不是exact.
: (要注意的是,雖然ω可以寫成dθ,但θ並非well-defined的函數,
: 所以不能因此說ω是exact)
對於 closed, 我沒異議。對於 exact, 我看了一下 Rudin 書上的定義，我覺得似乎不
應該這樣解釋 !?
關於 ω is not exact on |R^2 \{0}, 這應該是來自：若 ω 為 exact on |R^2\{0},
則沿著任何封閉曲線之線積分為 0. 當單位圓上時，線積分是 2π. 並不是 0.
事實上，只要任何封閉曲線包含 0 點，則其線積分必為 2π.(聽說與 homotopy 有關).
至於 ω＝dθ＝d arctan (x/y), 這 arctan (x/y) 並沒有辦法在 |R^2 \{0} 存在使
ω ＝ d arctan (x/y). 因此，無法由此說明 ω 是 exact.
事實上，ω＝dθ, 這告訴我們沿著曲線(逆時針)之角度變化量。既然繞了一圈，那肯
定是 2π.(這與 winding number 有關).
Ｑ: 我這樣解釋對嗎?
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