推 Lindemann:謝謝herstein大大精采解說,我真的收穫良多^^ 06/02 15:02
※ 引述《Lindemann (時空之旅計時開始)》之銘言：
: ※ 引述《widepiano (NN N N)》之銘言：
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: : Lie derivative 不需要在流形上指定聯絡,且可作用在任意張量場不改變張量形式
: : 協變微分需要指定聯絡,不能作用在微分形式
: : 外微分不需要指定聯絡,只能作用在微分形式.
: : 所以總體來說Lie derivative自由度最大
: 我比較困惑的是Lie derivative 他的做法跟協變微分看似似乎是一樣的???
: 但是只是差在Lie derivative的移動不是"平行移動"所以就沒有聯絡
: 而是為了在同一點在不同流形裡面一種映射(張量的移動)的微分?????
Lie derivative跟協變微分是不同的概念。但是他們都是某種代數的
derivation。所以你會覺得看起來似乎一樣。Lie derivative只要
給定了流形上的微分結構就可以定義出來，可是要定義協變微分，
你必須要更多的結構才可以定義，因為協變微分跟連絡是等價的，
而連絡所形成的空間是無限維。所以只要連絡改變了，協變微分也
就改變了。
我不太懂你所謂李微分的自由度最大是怎麼看得。如果你的自由度指的是微分，
那麼連絡空間的自由度是無限維。
再者，平行移動的概念會跟著你連絡的改變而改變。連絡指定了協變微分，
平行移動仰賴於協變微分。
: 但是這樣子到底是什麼緣故讓Lie derivative就沒有聯絡呢?
: 是因為他不仰賴幾何結構的關係存粹只是無窮小的映射????
因為Lie微分是由流形的微分結構所決定，並不是由幾何結構所決定。
微分流形的幾何結構是由微分流形的聯絡所決定。
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: : 你說的是曲率的幾何意義,座標系繞無窮小"封閉"路徑平行移動一圈所產生的角度差
: : ,封閉路徑是自己選的.這種幾何解釋是利用holonomy group(和樂群)所給出
: 這個可以在解釋清楚一下嗎?
如果給了微分流形上的聯絡，我們可以定義出協變微分的概念。而這個協變微分的概念，
定義出了平行移動的概念。如果任取流形上的一條迴圈，那麼平行移動會給出纖維叢上
的纖維的自同構，也就是纖維上的自同構群(也就是俗稱的規範群 Gauge group)的子群。
這個子群就是holonomy group。
其實這裡面是相當複雜的，你可以讀讀我之前打得note，這裡面都是概念論述比較多。
http://frankmath.cc/Geometry/GG.pdf
這個note也解釋(比較從物理的觀點)了為什麼要引進纖維叢的理論來研究場論。
其實連絡理論在電磁學中是相當自然的，因為電磁場是 U(1)-規範場的曲率。
規範場或者是規範潛能在數學被稱為連絡，而連絡決定了Minkowski空間的
協變微分，可以證明電磁場就是這個連絡的曲率，或是場的強度(Field Strength)。
: 上次為了想更了解解析研拓,看到小平邦彥的一章,第一句話holonomy group,
: 我就跟大部份的物理人一樣看到一個不想看的第一句話就先把書關上了XDDD,
: 我現在還沒有念到複流形這裡,
holonomy group正是目前迴圈量子重力最重要的工具。弦理論在數學上並不是一個
well-defined的概念。迴圈量子重力理論是目前能夠很嚴謹的給出無窮維空間量子
化的一個理論。把空間量子化需要定義出量子希爾伯特空間，換句話說，需要的是
測度的定義。例如費曼路徑積分。所以定義出測度正需要仰賴holonomy group。
http://frankmath.cc/Geometry/HC%20Algebra.pdf
可以看看我的演講稿，前一陣子回清華就是講了一些量子迴圈重力的數學。
但研究解析研拓應該不是 holonomy group，應該是Cech cohomology group，
因為Cech cohomology group的發明正式為了解決解析研拓的問題。
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