Re: 丘成桐 "幾何學的未來發展"

作者PttHuge (我要看Naruto >_<)

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標題Re: 丘成桐 "幾何學的未來發展"

時間Mon Jul 4 20:29:53 2005

※ 引述《丘成桐 "幾何學的未來發展"》之銘言： : http://hk.netsh.com/eden/blog/ctl_eden_blog.php?iBlogID=1121286 : http://bbs.pku.edu.cn的數學板也有 : ※ 編輯: ahho 來自: 140.112.102.60 (07/04 19:49) : 推 gary27:如果是繁體字我會毫不猶豫的收到精華區... 140.134.242.144 07/04 : → gary27:不知道有沒有人能幫轉??方便閱讀? 140.134.242.144 07/04 幾何學的未來發展 by 丘成桐 2004年10月18日以下為使用FireFox的同文堂轉為繁體，語言能夠轉換，不過語意還是一樣的另外說明一下，轉繁體中會有一些是錯誤代碼，並非轉貼文章的行數限制造成的:) 有興趣的板友請參考一下 ============================================================================ 校長、院長、及各位同學，今天很榮幸能夠在這裡演講，尤其今年是交通大學一百年校慶紀念，能到一個比較注重工程的學校來講數學，表示交通大學也注重理科方面的工作，這是很有意義的。因為基本科學對於工程學有很重要的啟發性。今天我講的題目是林松山教授給我的。但是學術的未來很難猜測，很多有學問的人都曾經得出錯誤的結論。所以我不作任何猜測，我只能夠根據以前的歷史來做一些建議。今天要講的歷史主要是從個人的體驗來看。我不是一個歷史學家，我講的很可能是錯誤的。可是這不重要，因為我想講的是我從做學問得出來的觀念，希望能夠以我自己的經驗來做一些建議。清華大學跟交通大學都曾贈予楊振寧先生榮譽博士，我看過楊先生寫的一篇文章，楊先生講做物理好像畫圖畫一樣。我想做幾何也跟畫圖畫差不多，不過我們畫的圖畫更廣泛一點。物理學家要畫的基本上只有一張圖畫，就是自然界的現象。但是幾何學家可以隨意去畫，我們可以畫廣告畫，畫工程學需要的畫，也可以畫印象派的畫和寫實的畫。廣告畫可以在商業上有很大的用處，過幾年後可能成為收藏的對象。但是由於商業氣氛濃厚，一般畫家不大願意認同它們的價值。廣告畫或工程畫卻可能對寫實派的畫和印象派的畫產生相當的影響。不過畫印象派的畫或山水畫，一定要有很深的技術、功力和想法才能畫得好。出名的畫家往往花很多時間在磨練、在猜測，將他的工具不停地推進，在好的氣質修養下，才能夠畫出好的印象派的畫或山水畫。一般數學家和幾何學家也有同樣的經驗，有意義的工作即使是個很小的觀察（observation）,往往花了數學家很大的精力去找尋。找尋的方法不單是從大自然吸取，也從美學和工程學來吸取。怎樣去尋找有意義的工作，跟我們氣質的培養有密切的關係。現在我想談幾何的歷史，看看從前，再預測未來。因為我沒有想到林松山教授給我這麼長的時間，所以會講長一點。從前我們念中學的時候，念國文、念文學批評，總會說一個時代有一個時代的感慨。數學基本上也是一樣，文學上有古文學、有詩經、有焊場? 有唐詩、有宋詞，從一個時代去學習一個時代，很少能夠學得剛好一樣。我們現在看詩經寫得好得不得了，可是我們學不到詩經裡面的情懷意念。時代不同，感慨也不同了。隨著時代的變遷，因為時代不同的需要，我們培養出不同的感情，取捨自然不一樣。我們可以很羡慕從前大數學家做的工作，可是我們不可能也不一定要跟他們一模一樣。就好像我們現在學蘇東坡的詩和詞，我們不可能也不需要學得一樣，但是我們可以從他的詩詞裡得到想法，幫助我們去理解大自然，找尋表達自己感情的方法。從幾何來說，我們所要尋找的跟物理學一樣，就是真和美這兩個觀念。還有一個很重要而容易忽略的動力，是由工程學對數學需求所產生的。這三個想法推動了幾何學的發展。美的觀點在不停地改變，改變的方式跟我們當時認識的自然界有很大的關係。一、二千年前我們認識的自然界跟現在我們理解的自然界完全不同，所以數學或者幾何學不停地受到這個變動的影響。在幾何學來說，美可分為兩方面：靜態的美和動態的美。靜態的美，譬如一朵花或雅緻的山水，我們大致知道怎樣準確地去描述他們，甚至將我們的感受表達出來。如何描述動態的美對我們來說是一個很困難的問題，例如水在流或天在下雪，在不同的時間、空間，事物會產生激變，這是一個相當美的圖畫。可是到目前為止，激變的研究對理論物理學家、數學家跟幾何學家都是一個很大的挑戰。為了對時空作深入的描述，幾何學家有不同的研究的路徑：有人從物理學的角度去瞭解，有人從微分方程的角度去瞭解，這都成為幾何學的重要課題。從古至今大家都講美，但是沒有很客觀的標準來決定什麼叫美或者不美。最重要的觀念只有一個，就是簡潔simplicity。這往往是我們審美的一個主要標準。在做幾何、做數學、做物理的研究時，我們都在描述一個很複雜的幾何現象。假如我們沒有辦法將幾何現象用很簡潔的語言表達出來的話，我們不算有一個好的定理或者好的文章。用很簡潔的語言來推導和描述繁雜的幾何現象，在歐幾里得的時代就歸納為用三段論證方法得出的過程。當時有很多定理，從希臘或埃及早期就發現了很多不同的平面幾何現象，但是沒有辦法有系統地放在一起。歐氏很重要的貢獻，就是能夠將定理統一起來，用公理來解釋所有當時發現的定理。例如兩點之間可以用唯一的直線連接起來這個事實，可以推導出很多定理。追求用簡潔的語言來解釋複雜的幾何現象，是幾何學家的目標。物理學也是一樣，物理上很複雜的現象也希望用統一場論來描述。從前中國也發展了平面幾何，可是始終沒有辦法發展成完美的嚴格數學理論。這是中國數學不如西方數學的一個原因。公理化以後我們才能夠統一處理和瞭解繁複的現象，也因此知道歐氏幾何所能解釋的只是很簡單的理想化的幾何現象。我們在自然界裡面發現的現象遠比平面幾何要複雜得多，阿基米德和牛頓開始用微積分的方法來描述變動的曲線和曲面。引進了微積分以後，幾何學有長足的進步，我們開始知道直線或是圓以外的圖形都可以用嚴格的數學來描述。牛頓從物理的觀點來看質點怎麼變動成一條曲線，從而發展了微積分。幾何學家發現描述幾何圖形非靠微積分不可，幾何學從希臘的公理化到牛頓的微積分是一個很大的進步。古典力學無論在阿基米德，牛頓或是現代，對幾何學的影響力都是很深遠的。它引進了變分法的觀念，例如我們研究一個簡單的問題：兩點之間最短的線是直線。這是平面幾何要求的。可是假如中間有障礙，就不再是一條直線，並且最短的路徑並不唯一。這是簡單的變分問題，問兩點間最短的線是什麼？怎麼找這些曲線及它的分佈情形，到現在為止還是微分幾何的一個有趣問題。我們知道在圓球上所有的測地線（geodesic）都是大圓。假設我們將圓球變形一下，變成凸曲面：convex surface，這問題就變成一個很複雜的數學問題。它的測地線分佈狀態並不明顯，到目前為止沒有辦法處理這個問題，只有在簡單的橢圓體時可以全部解決這個問題。古典力學幫忙我們發現很多不同的工具來解釋測地線的問題。到了二十世紀，我們又發覺古典力學和量子力學有密切的關係。一個重要的問題問，當普朗克常數趨向於零的時候，古典力學和量子力學中間的關係如何描述，在這方面有很多重要的工作，例如：WKB的近似方法。它在幾何上產生了有趣的影響。例如 Hamiltonian Mechanics裡面的classical path和光譜的關係，引起了微分幾何學家和微分方程學家企圖聯繫Laplace算子的譜和測地線長度的工作。古典力學通過 geodesic，量子力學通過Laplace算子得到很多幾何現象，如何將他們聯繫是一個很有趣的幾何問題。我想這方面的研究會有很大的發展。從古典力學到量子力學，更進一步，就是量子場論，這裡有無窮多個質點，相空間變成無窮維空間。由於在古典的量子力學裡，有限維流形上的譜分析和classical path有關，在無限維空間時，我們就期望某種極小曲面和量子場論出現的partition function有關係。在這方面，弦理論已經得到相當大的進步。可是物理學家討論場論的時候，遇到很多困難，起源於無窮維流形算子的譜分析不知如何處理。一個重要例子是loop space，這是將給定的流形上的所有封閉曲線放在一起的空間，我們要尋求在它上面的譜分析，這是一個很困難的問題。量子場論還缺乏嚴格的數學基礎。用Renormalization的方法，出現很多無窮的 cancellation問題。在物理上出現的問題在數學上會更為困難。因為物理學家願意接受直觀的證明的觀念，而數學家難以接受。可是從量子力學，量子場論推導出來的數學，幾何學家往往驚嘆他們如魔術般的奇妙直覺（intuition）。在有限維空間時，由物理學引起的幾何，我們大致上都可以理解和證明。可是在無窮維空間裡面，我們發覺古典幾何學的直覺與真理有相當遠的距離，沒有辦法將有限維空間的想法簡單地推導到無窮維空間幾何上去。這十五年來，自從弦理論產生以後，我們驚訝地發覺從物理直覺產生的幾何結論往往是正確的。雖然量子場論本身的基礎不夠精確，它的物理意義也不見得能夠說服所有的物理學家，可是得出來的幾何結論即使不能以物理學的思維來嚴格證明，卻意義深厚且往往可以用不同的數學方法來驗證。現在舉一個例子，這是一個很深奧而古典的問題，已經有一百多年的歷史：一個五次方程，它有五個變數，這是中學生都看得懂的方程。我們要解這個方程，我們問一個很簡單的問題，假如要求尋找這個方程的函數解，它是可以寫成一個參數t的有理函數，問這個方程有多少個這樣的函數解。這是一個很古典的問題，跟 Fermat問題很相似。我們的解可以分為不同的類別，我們可以用t的階數來將解分類，一般來說解有無窮個。可是我們可以問階數等於一的時候有多少個解，等於二時有多少個解。古典的幾何學家算出來階數等於一的時候有2875個，等於二的時候也可以算出來，等於三是近幾年才找出來的，我們猜想它有無窮多個解，階數越大時解可能越多。數學家沒有辦法解答這個問題，連猜測都沒有辦法做。這個問題在十年前，用弦理論的鏡對稱猜測到一個公式，來表達所有解的個數。這個鏡對稱理論是十年前我的一個博士後研究員和在德州的一個教授跟他們的同事們建立的。鏡對稱沒有辦法嚴格地去證明這個公式，當時用古典方法一個一個地去檢查，發覺階數小時公式基本上是對的。可是這種檢驗不是公式的證明，從量子場論得來的結果一般來說不能當作定理。今年年初這個公式終於由劉克峰、連幫豪和我、以及俄國數學家Givental用數學的方法給出嚴格的證明。雖然最後的證明跟路徑積分的想法無關，但是得到這個公式的過程有很大的意義，因為在量子場論找到這個公式以前，數學家連怎樣找這個公式都不知道。等到這個公式找出來以後，我們才有辦法從公式本身去著想，得到它的證明。我為什麼要講這個問題呢？因為無窮維空間在物理上有許多直觀的想法，從數學的觀點來看，幾乎是不可能接受的。這種公式往往是從路徑積分加上正規化的觀念導出來的，在嚴格上和直觀上數學家都不能夠接受，但卻得出正確的答案。因此，我們要追究物理學家在量子場論的直觀是怎樣訓練出來的，我們幾何學家缺乏這方面的訓練。近十年來，從量子場論得出來的重要觀念，解決了很多我們以前沒有辦法解決的問題，可以看出古典力學、量子力學、量子場論對幾何的影響是很深遠的。我想這個發展會繼續下去，二十一世紀的上半葉，無窮維空間的幾何要不斷地受到量子場論的影響。如果單從數學出發，我們很容易地定義什麼叫做無窮維空間上的幾何，可是往往沒有辦法得出任何有意義的結論。這是因為幾何學家對現代物理的觀念搞得不清楚，而無窮維的幾何往往不是古典的直觀可以得到的。所以我們要接受從現代物理或其他自然界供給的觀念。這是一個很重要的交匯，數學家自以為很漂亮的工具，往往不能夠解決任何問題。假如物理上的直觀可以代表真的話，這種直觀會成為幾何學的骨幹。我剛才強調從物理得來的幾何觀念，可是我們也應當知道幾何或數學本身有他生存和美的意義，也有生存和美的價值。我們可以不受到客觀世界的影響，推導很多很漂亮的理論。只要這個理論漂亮而同時能夠解釋很多幾何上的現象的話，他一定有存在的意義，這是我們做數學的人相信的。舉個例子來說，從牛頓以來，古典力學對微分幾何確有深遠的影響。到了十九世紀，Gauss卻有一個很重要的發現，把牛頓以後的微分幾何帶進一個新的紀元。這個定理引進所謂內在曲率的觀念，曲率的觀念在Gauss以前就有了。自微積分被創立以後，我們就知道怎麼處理二維的曲面， Euler等很多重要的數學家在這方面有很大的貢獻。曲率測量二維曲面在三維空間裡面的扭曲性，一般來說有兩個不同的方向，一個得出h，另一方向得出k，它們的乘積hk定義為二維空間的Gauss曲率。Gauss重要的貢獻是發現Gauss曲率只跟曲面的本質計量（intrinsic metric）有關。二維曲面變形時，只要本質計量不變，它的曲率就不變。例如圓形柱中間切一條線以後，張開來變成一個長方形。這個過程並沒有改變度量，所以圓柱的曲率為零。 Gauss自己也認為這是一個很重要的發現。發現的過程跟物理或其他的科學沒有直接的關係，大概跟測量地形有間接關係。是Gauss經過很複雜的微積分計算，發現出來的公式，他發現曲率只跟本質計量有關。Gauss的公式並不容易看得懂。事實上，用不適當的座標表達的時候，微分幾何的公式可以變成很複雜，但這也是微分幾何漂亮的地方，往往在選取好的座標時可以得到很簡單的公式。目前在課堂上就可以很容易將Gauss的公式寫下來。這是因為我們已經將Gauss的想法全部吸收而融會貫通的緣故。有了 Gauss定理以後才有黎曼幾何的發展。黎曼根據Gauss的發現，發覺我們可以推導一個全部本質的幾何學（intrinsic geometry）。我們只要知道兩點之間的距離怎麼度量，就可以引進曲率的觀念，距離可以決定曲率，這是黎曼幾何一個重大的突破，黎曼幾何要求歐氏幾何在一個無窮小的領域上成立，然後推導了曲率及一系列微分幾何上主要的觀念。當時黎曼創做這個理論，基本上是好奇。因為他希望能夠重新解釋Gauss定理，同時又將Gauss公式推導到高維空間去，並解釋了幾個重要的觀念，例如歐氏幾何裡所謂平行公理的問題。一直到十九世紀後期，微分度量幾何的發展跟理論物理關係並不大。當年引進了很多不同的觀念都是基於微分幾何學家的好奇心。他們發現很多歐氏空間上能夠做的事情，都有辦法在黎曼流形上面做，微分和積分的觀念全部可以推導到流形上去，到了十九世紀末葉他們已經將微分幾何推廣到抽象而完美的狀態，當時的推導是基於公式的簡潔和優美。1915年，Einstein引進廣義相對論，使黎曼幾何得到進一步的改變。黎曼幾何在Einstein的廣義相對論上有很大的貢獻。由於Einstein對微分幾何不太瞭解的緣故，剛開始推導出來的方程式是有缺陷的。到數學家跟他合作以後，他才推導出正確的方程，對黎曼幾何來說，這是一個很大的鼓舞，抽象的想法竟然得到物理學上的重要應用。反過來說，廣義相對論成功以後，對於黎曼幾何的發展產生了很大的刺激，整體微分幾何跟廣義相對論因此有著密切的關係。在黎曼幾何本身，我們當然能夠找到有意義和漂亮的問題，可是有一些觀念，幾何學家沒法單憑幾何直覺得出。到了物理學家要追求一些實際的問題時候，我們才瞭解它的重要性和解決它的可能性。十多年前，我跟一個朋友做一個廣義相對論上的題目，這是一個好幾十年的老問題。當時幾何學家不太懂這個問題，物理學家向我們解釋清楚以後，我們才知道，它的特殊情形基本上是一個幾何問題。因此我們對它有很濃厚的興趣。我們將它用幾何的方法解決以後，才去處理物理學家要求的原始問題，我們從古典幾何的觀念來看這個問題的一般情形時，我們認為這是不可思議的。事實上，當我們將這個問題全部解決了以後，一個很有名的幾何學家還堅持這不可能是對的，可以見到古典幾何的直覺有一定的規限。反過來說，物理學家也有他們的規限，例如剛才講這個問題，他們想了很久也沒有辦法解決，而我們用幾何的方法卻將它解決了。所以這是一個互補的情形，有些命題在我們來說幾乎是不可能對的，物理學家卻極力堅持，認為物理的直觀會遇到挑戰，所以我們願意花很大的功夫去瞭解它。假設當時物理學家沒有極力堅持的話，恐怕我們不可能花這麼多時間去考慮它。以後物理學家引進超引力的觀念，簡化了上述問題的證明，反過來對幾何學有很大的幫助。Einstein的引力理論給幾何注進新的生命，物理學和數學的交流至為重要，這是幾何發展的一部分，這條路線會走下去，這是無可置疑的。未來半個世紀，幾何學家會解決從古典廣義相對論裡面出現的問題，物理學家大概發覺這方面的數學問題有相當的困難性，所以不大願意做古典廣義相對論的理論問題。他們的興趣是時空的量子化，這當然是很重要的，它是統一場論的最關鍵問題：也產生了很多有意義的幾何問題，例如熵的定義就是一個有挑戰性的命題。古典的Einstein方程是一個很漂亮的方程，產生了很多重要而有意義的幾何現象。其中最重要的是時空的奇異點問題。這幾十年來數學家研究奇異點，在代數幾何方面有很長遠的進步。一個很出名的定理是Hironaka 的Resolution of singularity，這是三十年前做的，與微分幾何不同的地方是代數幾何的奇異點是比較容易定義的。因為代數流型是用一組多項式定義的，流型本身可以定義奇異點。代數幾何學家有很有效的方法來瞭解奇異點的結構。另一方面Mather 和Arnold等好幾個數學家考慮了所謂平滑奇異點 (smooth singularity)的問題；不一定由多項式定義，而是由平滑函數（smooth function）定義。他們引進了很多拓撲學的工具。基本上的方法還是變成多項式的情形來解決。可是這些方法對於時空的奇異點問題暫時沒有幫助。研究一般性的奇異點，無論在物理上、微分方程上或者幾何上，都是基本的問題，這些研究正在萌芽，可是對於真正瞭解它們還是相差很遠。例如在廣義相對論裡，奇異點沒有一個很好的定義。我們知道奇異點是在時空的邊界上，跟我們現在所看到的 Minkowski時空是不同的。這是簡單的事實，它的局部性質跟一般時空不一樣，但我們不瞭解他們的內在結構，連該問的問題我們都不太清楚，真是一個很困擾的狀況。廣義相對論的進步，要依靠我們對微分方程的瞭解。為什麼呢？因為古典的廣義相對論本身是由Einstein方程來決定的。假如我們脫離了Einstein方程，得出來的結論只不過是一個抽象的架構，不能夠說符合廣義相對論的要求。不幸的是Einstein方程式是一個很複雜的非線性雙曲線方程組。我們對它的瞭解極為薄弱。我們希望能夠從Einstein方程得到時空的奇異點觀念。當Cauchy problem 的初始值是光滑的時候，時間向前走，我們要問奇異點是怎樣產生的。瞭解了奇異點產生的機制，我們才能瞭解奇異點的結構。在廣義相對論裡，有兩個重要的奇異點：一個就是黑洞，一個就是裸的奇異點(naked singularity)。這兩個不同的奇異點有濃厚的物理意義，我們期望從方程上能夠瞭解他們。當初始值光滑時，這兩種奇異點如何產生。對一般的光滑初始值，裸奇異點可否出現？這是古典相對論最重要的問題。一般物理學家研究黑洞時，用幾個主要的解來解釋它們的特性，這就是Schwarzschild 的解和Kerr的解，可是這兩個解不見得有一般性。我們希望從微分方程或者幾何的觀點來瞭解這些一般解的性質。例如證明星雲毀減時，時空會漸近一些基本解，或者在這些解集合裡跳躍，也希望知道這些基本解奇異點的結構。找出奇異點的結構，不單對黑洞本身的瞭解有重要意義，重力輻射(gravitation radiation)的問題也會得到幫助。現在的觀察儀器差不多可以觀察到重力輻射。可是從觀察得到的資料的意義，還不清楚。因為無論從理論上或計算數學上，我們都沒有辦法從Einstein方程裡將輻射公式很透徹地瞭解。這個問題跟奇異點應該有關，在這幾十年內希望能有很大的進展。我們看到的幾何現象都會有某種奇異點。我們怎麼去分類它？奇異點有不同的類型，一種是人為的，一種是自然的，這兩類奇異點我們都要去研究。人為的奇異點在工程計算往往會出現，而自然的奇異點則從物理方程可以推導出來。Einstein方程裡邊的奇異點是最困難的問題。規範場的座標沒有選好也可以得出奇異點。 Einstein方程不單是一個最重要的非線性微分方程，也影響時空的拓撲，對微分幾何學家來說是一個挑戰，因為奇異點可以將時空的拓撲吸取。一般來說，微分幾何從幾個背景來建立我們的理論，拓撲結構就是最重要的背景。當奇異點破壞了這個背景時，我們有時會手足無措。微分幾何學家對拓撲學一直都很重視。現在講最近拓撲學的走向，跟微分幾何的關係。微分幾何跟拓撲學的密切關係可溯源至Euler公式和Poincare天文物理的研究。而複分析卻是微分拓撲萌芽的一個關鍵。它在十九世紀已經有很深入的發展，不過很多自然的複函數有單值化的問題。例如log函數在平面上有branch cut，所以複數分析要處理這個問題。從此處可以引出monodromy群對同調群的作用和整體拓撲學的一個發展，其實monodromy群可以看作規範場理論的一部分。用monodromy群來控制整體幾何和代數系統仍然是一個蓬勃的方向，通過群表示理論，它在幾何學裡起著很大的功用。由複分析理論引出黎曼曲面的理論，可以說是近代拓撲的第一塊基石，我們開始研究外微分形式的週期問題，例如dlog可以在C\{0}上定義而且在任何繞零的閉曲線有同樣的周期，這影響了de Rham定理的發現。拓撲學和複數分析結合起來以後產生了複幾何。高維空間複流形和代數幾何的發展息息相關，homology的觀念和代數Cycle的理論相關而互相輔導，Lefschetz Pencil和Morse 理論的發展也是互助的。二十世紀初期對流體方程和電磁方程的研究，使得幾何學家引進了Hodge理論，以後的Yang-Mills理論源於高能物理方程，卻可以看成為非交換的Hodge理論。為瞭解如何處理整體微分幾何的問題，Cartan,Whitney等引進了很多重要的觀念，其中纖維束和特徵類是其中最重要的。這幾個觀念影響了二十世紀整個數學的發展，包括了微分幾何、代數幾何、代數和數論。Whitney考慮了tangent bundle, normal bundle 和一般的vector bundle 的觀念。 Vector bundle在Whitney 手上變成拓撲學裡面一個最重要的工具。他考慮了Classifying space 的觀念並研究Grassmanian空間及它的同調群，因此引進了特徵類。他的乘積公式影響至今。Pontryagin 和陳省身更進一步考慮實數和複數空間的特徵類。 Pontryagin Class 和 Chern Class都可以用曲率表示，他們代表了大範圍的拓撲學觀念，而曲率是一個局部的觀念，這兩個觀念結合起來以後，我們就可以將局部的微分幾何跟大範圍的拓撲比較。微分幾何從古至今都期望從局部的結構來瞭解大範圍的幾何結構，這也是物理學家的期望，他們希望由微小的粒子理論和微分方程來推導宇宙的結構，可見物理學家跟幾何學家有很多共同的想法。也因此我們都想瞭解奇異點的局部結構。決定了流形的結構後，我們要研究它上面的規範場，由不同的vector bundle可以得到不同的Yang-Mills場。Grothendick 建議將所有vector bundle放在一起，然後做簡單的等價和加法就得到所謂K群的觀念，這是幾何學很重要的不變量，Atiyah和Bott利用它解決了多個重要的問題，對時空的結構本身有基本的貢獻。通過特徵類，我們可以得到由K群到同調群的一個很重要的映射，這映射與Riemann-Roch定理有密切關係，這定理可以解決代數流形上的存在性問題，它能夠計算代數方程的解。從前Riemann 跟Roch在一維情形下首先得到這個公式。到了五十年代由於Sheaf 理論和特徵類的發展，Hirzebruch成功地將它推廣到高維空間。這可以說是本世紀一個偉大的定理。有了Riemann-Roch定理， Atiyah-Singer將它普遍化成index theory。Atiyah-Singer發覺Riemann-Roch定理不單在代數流形上成立，同時也可以推廣到一般流形上。事實上這是橢圓微分算子指標的問題。加上Bochner的消滅理論，Index理論可以將橢圓算子的解的個數。變成拓撲學上的演算法。這個發展對近代物理，尤其是高能物理裡的 anomoly理論有很大的貢獻。 Yang-Mills理論在物理上有基本性的貢獻。在近代拓撲學上也是舉足輕重的。事實上數學家對規範場論的觀念很早就有了。從Whitney發展vector bundle理論後，幾何學家也考慮其上的聯絡和曲率，但很奇怪的是他們沒有發展Yang-Mills理論。Yang－Mills 理論考慮規範場的曲率，將它平方積分然後做變分得到Yang-Mills方程。從前的幾何學家對方程的興趣不大，有些古典幾何學家認為只有工程師才會去解方程。七十年代中葉才將Atiyah－Singer 的理論用到Yang－Mills理論上去，得到長遠的進步。以後最出名的工作當然是Donaldson的理論。以前物理學家只討論上的規範場，問Yang— Mills方程的解的維數有多少或者怎樣去描述解的樣子。可是很少人問在一般的流形上，我們怎麼去解這個方程。Uhlenbeck首先考慮一般空間上的規範場的性質，而Taubes 用Singular perturbation的方法更證明一個很重要的存在性定理。 Donaldson用了 Taubes的存在性定理再加上Atiyah-Singer的理論，研究四維空間上Yang－Mills場的moduli space，他因此構造了四維拓撲學的不變量。這是很重要的貢獻，他解決了四維空間裡一個很重要的拓撲學問題。這裡可以看出來幾何學家的走法和物理學家不一定相同，物理學家當時只想解決上面的問題。可是我們基於好奇心，發展了一套美麗的一般理論，然後解決了拓撲學上重要的問題。 Donaldson的工作以後，Mrowka 和Kronheimer 做了重要的貢獻。他們將 Donaldson 的多項式結構搞得很清楚，引起了Witten的注意，Witten企圖要從量子場論來解釋這個公式。物理學家對Donaldson的不變量一直在注意，可是始終沒有辦法將他解釋得很清楚。到了Kronheimer和Mrowka將這個公式搞清楚了以後， Witten才用路徑積分的方法來瞭解Donaldson的不變量究竟在物理上是什麼意義。他與Seiberg用supersymmetric Yang-Mills的想法，得出所謂Seiberg－Witten不變量。這兩年來極為流行，在代數拓撲、微分幾何跟代數幾何發展裡面是一個很重要的工具。很多Donaldson理論沒有辦法解決的問題，例如Thom猜測，卻可以用Seiberg－ Witten的辦法解決。Seiberg－Witten不變量跟原來Donaldson的不變量關係密切，但有驚人的簡化。Seiberg-Witten方程是非線性U(1) gauge方程 coupled with spinor得來的。Seiberg－Witten理論的最重要的定理是Taubes定理。他證明 Symplectic流形的Pseudo-holomorphic curve 的個數與Seiberg-Witten 不變量基本等價,這是一個很深入的存在性定理,對四維的Symplectic 流形有深刻的貢獻,解決了很多古老的唯一性問題。究竟Taubes定理在高維空間有沒有好的推廣仍然懸而未決。一般來說, Symplectic空間的自構群是無限維的,所以橢圓形方程方法比較難以應用,但Taubes定理指出它的可行性,以後應當有進一步的發展。很多四維甚至三維空間的問題由Seiberg－Witten不變量得到解決。是不是所有四維的問題都可以由此解決呢？我想差得很遠，四維空間的拓撲學實在很複雜，不可能由一兩個想法全部解決。由於複曲面是四維空間最基本的例子,任何四維空間的結構性理論都將與複結構有關,橢圓方程理論應當想辦法找出可積的複結構的條件。這樣會給出重要的訊息,也將是一個困難的工作。但可以確信的是，低維空間的幾何和拓撲息息相關。物理學指出八維以下的空間的理論都可能有交匯的地方。三維空間的問題是一個很基本的問題，我想這裡面有一個很重要的工具還沒有完全掌握的。這就是存在性的問題。微分方程學常問什麼時候存在解？事實上在數學發展的歷史上，一個主要的突破是找到存在性定理的證明。我們在四維三維空間的存在性問題還沒有完全解決。我們希望微分方程能夠幫忙：橢圓系統存在性運用於低維的拓撲學上會有宏大的威力。我猜至少要幾十年我們才能夠將這些結構全部搞清楚。但是可以看出微分幾何會是物理、方程跟拓撲結合在一起的領域。從前Thurston用黎曼曲面和三維拓撲的方法得到一個重要的幾何結構存在性的定理,但他的假設使得他的定理不能概括所有三維拓撲。二十年前我建議Hamilton用他的方程來創造幾何結構,並解決Thurston的問題由於Hamilton頑強的分析能力,此事已有長足的進步.希望在未來二十年內, Hamilton 方程能夠發揮威力來解決三維甚至四維拓撲的古老問題。偶數維空間都與複幾何有關,但在四維和八維時有更豐富的幾何結構.它們可以有sp(1)和 sp(2)為和樂群的結構.而八維時更可以存在spin(7)的結構.在七維空間則可以有結構. 他們的Ricci度量都等於零,而他們之間息息相關。物理學家很重視這些具有超對稱的結構,給我們帶進新的觀念,但是微分方程還是主要的工具。如何證明這些結構的存在性是極為有意義的分析問題,這些自然的幾何結構很有可能具有某些簡單的奇異點,這些奇異點往往有自然的物理和幾何意義,我們一定要解釋它在整體空間的地位。在研究這些結構時,我們要考慮它的模空間,一般來說,有意義的幾何結構的模空間是有限維的。同時在可能的情形下，保持Hausdorff的性質。在Geometric invariant theory 的理論中，引進了結構穩定的觀念，就是為了對付這個問題。有時為了達到結構的穩定，我們可能在原來的結構上再加其他新的構造。二十多年前,我考慮Calabi猜測這個問題,解決了相當廣泛的代數流形上的Kahler Einstein度量的存在性問題,這是重要的幾何結構.當時我應用它得出代數流形的重要拓撲量的不等式,在差不多同時，代數幾何學家Bogomolov和 Miyaoka利用代數穩定性理論亦可以得出類似的不等式,所以我開始尋找代數流形穩定性和Kahler Einstein度量的關係.第一個重要的結論是Donaldson在代數曲面和Uhlenbeck和我在一般複流形上的定理。在holomorphic vector bundle穩定的情形下，我們證明它有Hermitian Yang Mills場，這是一個很重要的結論，無論在物理學上和在代數幾何學上都有它的貢獻。以後李駿、鄭方陽和我更利用這個定理用來解決一個重要的複曲面的問題。因此我進一步猜測假如第一陳類可用Khler的常數倍來表示，則Khler- Einstein 度量的存在性和流形本身的穩定性等價，在我的討論班上，這是一個主要的討論項目。我曾經提出一系列的研究這個問題的方法，我的研究生例如田剛、羅華章等的博士論文都與這個問題有關，但這個問題還待深入理解。我認為幾何穩定性理論除了對複幾何外，對一般非線性方程亦會有貢獻。我相信非線性微分方程，幾何穩定性和幾何結構的交匯是一個很基本的問題，在未來的幾十年裡將會有深入的互動，更可以想像的是它跟物理學上的renormalization flow會有密切關系。當結構穩定後，我們希望將全部結構完成一個緊致空間，因此要引進半穩定結構的觀念，而這些結構可以看做模空間的邊界,也因此一般來說它們有奇異點,這種自然產生的奇異點是微分幾何學裡面重要的奇異點,在這些空間上,研究它們的幾何結構,規範場和子流行是很有意思的事情,往往經過singular perturbation後,我們對原來光滑的幾何結構會有更深入的瞭解。除了研究幾何結構的模空間外，還有規模場、子流形和全純映射空間的模空間，周煒良在代數子流形模空間上有偉大的貢獻。這些模空間的拓撲和陳氏類都是代數流形的重要不變量。他們有重要的物理意義，Donaldson 的不變量是從規範場的模空間引出，上述的弦理論在代數幾何上的應用是從全純映射的模空間得出，如何瞭解這些模空間的拓撲意義是極為重要的。事實上，Donaldson理論的一個重要起點在於Hermitian Yang Mill和anti-self-dual connection 的等價性，而後者在一般的四維流形亦可定義，其模空間在generic的黎曼度量下最為清楚。代數幾何的工具可以計算Donaldson 不變量。而後者讓Donaldson證明它是微分不變量。Donaldson對這些模空間的瞭解是他的理論成功的一個原因。代數幾何學裡一個最重要的問題乃是Hodge猜測。如何知道一個拓撲同調類可以由代數子流形來表示，這是一個困擾了數學家大半世紀以上的問題，它在數論上亦佔一個重要地位，在未來的世紀裡它應該得到解決。與此相關的一個極為重要的問題問：複的 vector bundle 在甚麼流形下有全純結構？及複流形什麼時候存在可積的複結構？這都是極為重要的問題。它們的模空間如何描述？Hodge結構和Torelli定理就是很重要的關鍵，它在高維空間的推廣和在vector bundle的意義是值得發展的方向。弦理論引進了奇妙的對偶觀念，我們需要深入地瞭解其中的幾何意義，這些對偶將上述各種幾何結構、規範場和子流形漂亮地連結起來而得到出乎意表的結果，我們不可能漠視他們的重要性。基本上，幾何學家應當有宏觀的視野，表面上不同的結構可藏有深入的聯繫。算術幾何的發展使代數幾何開闊了視野，它引進了重要的工具，也漸漸地影響了微分幾何的看法，尤其是Calabi-Yau流形與算術幾何的關係日益密切，弦理論的對偶理論和算術幾何的L函數的發展應當指日可待。算術和幾何的互動無可避免會考慮Arakalov幾何和由此引出的微分幾何問題。有限域上的幾何可以提供微妙的方法來瞭解一般代數流形的性質。在這方面最著名的定理是Mori 在有理曲線方面的著名工作。我們希望能夠從不同的角度用幾何方法來瞭解Frobenius action.最近幾年來在Calabi-Yau流形上的工作，顯示它在算術上的關係將會愈來愈密切。我們需要一個通盤的考慮，將算術幾何、代數幾何、微分幾何、分析和弦理論的保角場理論結合在Calabi-Yau流形上來討論。 Shimura流形在算術幾何和分析中有很重要的應用，但我們對它的拓撲和種種幾何性質瞭解並不清楚。我想在這個問題上，高維拓撲的理論會重新發現它的重要性。舉例來說，如何決定一個流形拓撲與Shimura variety同胚是一個有趣的問題。更進一步的問題是，什麼時候可以決定一個流形是某些自然結構的模空間。研究模空間的拓撲性質需要融合幾何幾個不同領域的學問，它的intersection cohomology和 L2 cohomology的關係就是一個例子。微分幾何經過種種的融合後將會是多姿多彩的，但是它能否有足夠豐富的結構來迎合近代物理時空量子化的需要，這是一個意義深長的問題，有人建議用非交換幾何的架構，有人建議碎形幾何，讓我們拭目以待罷。開始時，我談到幾何的發展受到應用數學的影響。在古代測量地形和建造房屋、金字塔的時候很明顯地意識到平面和立體幾何的重要性，以後Kepler對二次曲線和正立體的興趣更指出天文物理和幾何的密切關係。自從古典力學和工程學得到良好的結合以後，很多自然界的現象，例如水流、湍流、光波散射的種種問題都得到某些認識並引出優美的幾何現象，例如geometric optics和孤立子Soliton等理論都是很有意思的問題，近代電腦的進步影響了圖論的發展，更引進了很多幾何的觀念，而pattern recognition, computer graphics更是直接的用到幾何的方法，例如多維圖形的剖分，離散群和格點的分佈等等，可以見到幾何學家不應忽視工程上的問題。微分幾何確是一門豐富的學問，本文並未概括所有有意義的工作，但已經看出二十一世紀的幾何學將會是數學和一般科學的中心。 -- 嘿嘿..我是huge.. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 60.248.5.59

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