作者hanabiz (再見 B67)
看板Math
標題Re: [分析] 曲率一問
時間Wed Sep 1 07:08:07 2010
※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: 裡面有提到一個公式
: 就是曲率
: |r'(t) x r''(t)|
: Ｋ=--------------------
: [r'(t)‧r'(t)]^(3/2)
: 其中t是任意參數
: 然後接著他提到如果改用弧長參數的話公式可以變成
: Ｋ=sqrt[r''(s)‧r''(s)]
: 請問這中間的推導方式是甚麼呢?
: 而且我一直不懂一開始的定義
: dｔ
: Ｋ=|-----| ｔ是單位切向量要怎麼s微分呢?
: dｓ
|r'(t) x r''(t)|
＊Ｋ= --------------------
[r'(t)‧r'(t)]^(3/2)
t = r'/｜r'｜, ｜r'｜= ds/dt
=> r'(t) = ｜r'｜t = ds/dt * t, r''(t) = (d^2/dt^2 s)*t + ds/dt * t'
=> r'(t) x r''(t) = (ds/dt)^2 * t x t' (因為t x t = 0)
｜r'(t) x r''(t)｜ = (ds/dt)^2 ｜t x t'｜
= (ds/dt)^2 ｜t｜｜t'｜ (因為t和t'垂直)
= (ds/dt)^2 ｜t'｜
=> ｜t'｜ = ｜r'(t) x r''(t)｜ / (ds/dt)^2 = ｜r'(t) x r''(t)｜ / ｜r'｜^2
=> Ｋ = ｜dt/ds｜ = ｜t'｜/｜r'｜ = |r'(t) x r''(t)|
--------------------
[r'(t)‧r'(t)]^(3/2)
＊Ｋ=sqrt[r''(s)‧r''(s)]
Ｋ = ｜dt/ds｜ = ｜d^2/ds^2 r｜ = (r''˙r'')^(1/2)
＊曲率的定義 Ｋ = ｜dt/ds｜ 如何解釋？
我們知道t是單位切向量, 所以t的長度永遠不變, 會變的是方向
dt/ds是在曲線上各點, 每單位弧長(arc length)的"t的方向變化"
而我們有興趣研究的是方向變化率的"大小"(方向變化的劇烈程度), 而非變化方向
所以取絕對值, 定義Ｋ = ｜dt/ds｜
Salas微積分第10版的14.5講得不錯 看完應該就有個初步認識了
書中P.726給出另一種曲率的看法
或者也可找些微分幾何的書來看
若有問題, 歡迎再發問 (板上很少人討論幾何....= =)
補充：
後來再看了一次你的問題 我猜你可能是要問這個
ds是可以拿來微分或積分的, ds其實就是彎曲版本的dx
把x軸弄彎：x軸 <=> 彎曲的曲線
所以我們一樣可以把曲線上各點標上 s=0, s=1, s=1.15, s=pi, .......
(就跟你對x軸做的並無差別)
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.224.231.199
推 jacky7987 :感謝 09/01 09:05
推 jacky7987 :Ｋ = ｜dt/ds｜ = ｜d^2/ds^2 r｜ = (r''˙r'')^(1/2 09/01 09:07
→ jacky7987 :是因為ｔ=dｒ/ds是嗎，就是說整個是切項鍊沿著弧長的 09/01 09:09
→ jacky7987 : 向量 09/01 09:09
→ jacky7987 :變化率? 09/01 09:10
→ jacky7987 :然後ｔ是位置沿著弧長的變化率? 09/01 09:10
→ hanabiz :沒錯 注意到這裡我們的參數是弧長s 09/02 06:27
→ hanabiz :也就是 曲線C：r(s) = ( x(s), y(s), z(s) ) 09/02 06:28
→ hanabiz :一個小建議：可用T表單位切向量 比較不會和時間混淆 09/02 06:29
※ 編輯: hanabiz 來自: 61.224.228.102 (09/02 06:35)
推 jacky7987 :謝謝:) 09/02 09:39