Re: [微積] 微分幾何

[herstein (輸很大輸不用錢)]

※ 引述《elongation (no pain no gain)》之銘言：
: ※ 引述《chris90174 (獨孤彧)》之銘言：
: 英文不好，我試著翻看看，有錯請指正。
: 設一規則曲面S，對於S曲面上每一點p有一組線性獨立的向量{e1,e2}屬於Tp(S)，
: DNp(e1)=-k1e1, DNp(e2)=-k2e2,(這裡完全不知怎麼來的，什麼是Tp和DNp？)
: 在第二基本型式限制於屬於Tp(S)的S^1中(怪怪的)，k1≧k2且各為最大和最小，則
: k1,k2被稱為在曲面S上的一點p的主曲率，並個別相對於主方向e1和e2。
: 完全沒碰過微分幾何，完全不知所云，有大大可以解釋嗎？
基本上曲面就是可以用曲線去描述。你希望研究曲面上某一個點的彎曲程度。
但是你該用甚麼樣的方式去研究曲面上該點的彎曲程度呢?於是你就透過曲面上所有
通過該點的曲線的曲率去研究。因為在曲面上的曲線一樣也是在空間中
的曲線，如果你知道空間中的曲線是可以定義曲率的，當然在曲面上的曲線一
樣也具有曲率的概念。給一個在運動中的物體，運動軌跡的曲率的定義基本上
可從該運動物體的加速度去定義。而曲面上的加速度該怎麼定義呢?局部上來說
曲面都是可定向的，切向量的方向是物體運動的速度方向。如果將曲線的時間
更改為用弧長參數去度量，那麼其算出來加速度的方向就是曲線的法線加速度。
其法線加速度的便定義了曲線的曲率。而R^3中的任何一組基底都具有三個獨立
向量。而曲面上的法向量可以刻劃出曲面上任一一條曲線的曲率。{T,A,N}可以
形成空間中的一組基底。所以我們利用曲面上的法向量沿著該曲線的變化變得
到了該曲線的曲率。所以外法向量的變化沿著曲線的變化:

                 d
                 --- N (c(t))
                 dt
就是DN( c'(t))，DN表示外法向量的微分。

主曲率(pincipal curvature)以幾何上的觀點，就是在通過該點的所有曲線中，
曲線曲率的極值。由於二維曲面只會有一個最大值一個最小值(可以相等)。並且
這兩條曲線在該點會垂直。這兩個曲線的切方向就稱之為主方向(Principal direction)。

如果透過線性代數的使用，DN是切空間的上自共軛算子。而主曲率就是這個自共軛算
子的特徵值。(有些書會從-N去定義，就仰賴於你怎麼取法向量。)而主方向就是對應
的特徵向量。那兩條垂值得曲線基本上可以從解ODE得到。

所以主曲率k_1,k_2可以從DN這個矩陣的特徵值求得。曲面上該點的平均曲率定義為
H=(k_1+k_2)/2，高斯曲率定義為K=k_1k_2。

要懂古典的微分幾何，其實你只要懂微積分就夠了。接著就是怎麼去簡化張量的計算。
所以利用線性代數的方法我們簡化了古典微分幾何中的複雜的計算。近代的微分幾何
已經逐漸的失去了其幾何的直觀性，當然這個物理的發展有很大的關係，儘管他們使
用張量的方法去研究場論，讓整個物理看起來很"幾何"。

發現越寫越多，差點寫更多，我看暫時就此打住。剛不小心寫出了規範場的一些小故
事，後來想一想還是算了。反正我答應給大家寫幾何學的發展，等有空的時候在寫。
基本上會從一本書中取材，原則上就是跟著該書的想法把大致上的故事分享一下。包
含超對稱所定義出來的超幾何學。儘管這個新的幾何學看似不同，然而這包含在
Grothendick的幾何觀中。

其實再怎樣複雜的幾何學都是從本篇的問題出發的。什麼叫做曲率?

有興趣研究微分幾何的人古典幾何可是得好好學。失去了對幾何的直觀性，幾何
只會成為符號與證明的的一門學問而已。






--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.120.178.238
※ 編輯: herstein        來自: 128.120.178.238      (03/15 23:52)
推 clouddeep:大師出現了....(拜)
推 GSXSP:推~
推 andy2007:高手出招
推 elongation:真是太感謝了，今天頭有點痛只能明天再仔細拜讀一次了
→ elongation:有問題再請教大大。
推 Babbage:寫得很好耶!~~~推~~~~
推 s60984:大師....m(_ _)m
推 math1209:推 XD