推 TOOYA :要想想看不是1/2的嗎?? 05/18 18:22
→ goodGG :Good! 可以試試 05/18 21:53
※ 引述《goodGG (( ￣ c￣)y▂ξ)》之銘言：
: Question:
: ┌───────────────────────────────┐
: │某人有本金 a 元，決心再贏 b 元就不賭了。假設每局贏的機率是 │
: │p = 1/2，每局輸贏都是 1 元，輸光後就不賭了，求某人輸光的機率。│
: └───────────────────────────────┘
: 蠻有趣的問題，有興趣的可以想一想 ︿(￣︶￣)︿
Solution:
設輸光的機率為 q(a), A = 第一局贏, B_k = 本金 k 元時最後輸光.
因此
q(0) = 1,
q(a+b) = 0, _ _
q(k) = P(B_k) = P(A)P(B_k|A) + P(A)P(B_k|A)
= 1/2 P(B_{k+1}) + 1/2 P(B_{k-1})
┌───────────────┐
│q(k) = 1/2 q(k+1) + 1/2 q(k-1)│
└───────────────┘
所以我們有 q(k+1) - q(k) = ... = q(1) - q(0) = q(1) - 1,
q(n) - 1 = n[q(1)-1].
取 n = a+b, 0 - 1 = (a+b)[q(1)-1]. q(1)-1 = -1/(a+b).
取 n = a,
q(a) = 1 + a[q(1)-1] = b/(a+b).
所以,
┌────────────┐
│ 貪心 │
│輸光機率 ＝ ──────│
│ 本金＋貪心 │
└────────────┘
貪心越大，越容易輸光.
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※ 編輯: goodGG 來自: 218.164.86.134 (05/18 16:19)