Re: [統計] 隨機取二正整數無公因數之機率

[XII (Mathkid)]

※ 引述《Hastur (哈斯塔)》之銘言：
: 完整題目如下
: 「由下列事實
:   1+1/4+1/9+......1/n^2...... = pi^2 / 6
:   (數學式子不會打，就是Euler那個有名的無限項之和，pi就是圓週率)
:   證明:隨機選出二正整數m與n，則m與n無公因數之機率為6 / pi^2」
: 是我在看閒書時看到的題目，一直想不出來，很困擾，希望有人幫我解惑
: 謝謝<(_ _)>

P(p|m and p|n)=P(p|m)*P(p|n)=(1/p)(1/p)=1/p^2

                                                          1
P((m,n)=1)=Π(1-P(p|m and p|n))=Π(1-1/p^2)=Π(------------------------)
           p                    p           p   1+1/p^2+1/p^4+1/p^6+..

             1
=------------------------=6/π^2
  1+1/2^2+1/3^3+1/4^2+..

q.e.d.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 125.225.194.4
推 Hastur:嗚嗚，謝謝> <之前最後一步一直想不出來……終於懂了
→ eggsu       :讚！