作者math1209 (將心比心)
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標題Re: [離散] 不可數的集合一定有可數的子集合?
時間Mon Mar 23 11:47:09 2009
※ 引述《marcoii (天邊一朵雲)》之銘言：
: 題目是這麼說的:
: Every infinite set contains a countably infinite subset
: 如果infinite set 是可數 其infinite subset當然存在(本身就是)
: 但是如果是不可數 其可數的infinite subset到底存不存在??
: 請各位幫忙嚕~
給你一個這種圖：(基數)
(v)
.
.
.
此 (i) ↑______ c :＝ #(|R) ＝ (iii)
圖 |←－－－－－－－ (iv)
乃 |
表 ______ χ_0 :＝ #(|N)
示 (ii) ↓ .
集 .
合 n 註解：χ_0 稱之為 aleph zero, 或
個 . aleph null. 此數乃是最小的
數 . 無窮基數。
之 . 基數 (原文： cardinal number)
大 2
小 1
關 0
係
解釋： (i) 凡是有一個集合 S 的個數 #(S) ≧ c, 則稱 S 為不可數集合。
且若有一個集合 S 的個數 #(S) ≧ c, 顯然此集合必為無窮集合。
(ii) 凡是有一個集合 S 的個數 #(S) ≦ χ_0, 則稱 S 為可數集合。
且若有一個集合 S 的個數 #(S) ＝ χ_0, 則此集合必為無窮集合。
由 (i) 與 (ii), 只要有一個集合 S 的個數 #(S) ≧χ_0, 則此集合必為無窮集合。
(iii) Cantor 證明了 c ＝ 2^(χ_0). (＊)
(iv) Cantor 終其一生都在證明到底在 χ_0 與 2^(χ_0) ＝ c 之間有沒
有其他的基數？也就是說，是否存在一個基數 α 介於 χ_0 與 c 之
間？ 即： χ_0 ＜ α ＜ c. (這是鼎鼎大名的連續統假說)
(v) 此乃指無最大基數之定理。這也是 Cantor 證明的。
NOTE. (歷史補充 (iv) ) 在上個世紀的國際數學會議， Hilbert 提到了 23 個著名的
問題，這連續統假說是 Hilbert 第一個問題。這表示 Hilbert 的重視，但歷史告訴了
我們這無關緊要，主要是來自 1940 年 Godel 證明了其相容性。之後，1963 年 Cohen
證明了其獨立性。在現今我們常用的 Z－F 公理系統下，這一個問題算是有結論。我們
要接受他也可以，不接受他也無妨。
(＊) 我們不妨這樣想：當我們寫 [0,1] 為二進位寫法，則 x 可以寫成
x ＝ 0. a_1 a_2 a_3 a_4 ．．． a_n．．．
於是；每一個 a_i 僅有兩種可能性。(若 x＝1, 寫 x ＝ 0.111111．．．111．．)
故 [0,1] 的個數有： 2 * 2 * 2 * ．．． * 2 * ．．． 共有 χ_0 個 2 相乘。
故 #([0,1]) ＝ 2^(χ_0). 因此； #(|R) :＝ c ≧ 2^(χ_0).
至於 c ≦ 2^(χ_0)，各位可以想一想．．．
[（＊）不是嚴謹的，因為這涉及到二進位表示法的唯一性，然而，這可作修正的。]
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◆ From: 122.116.231.200
推 cmlrdg:推~ :) 03/23 13:05
推 xcycl:從 CH 的獨立性推論該公理的無關緊要，似乎太快了？ 03/23 17:02
→ xcycl:基於同樣力迫法證明 AC 獨立性，是否能說 AC 不重要呢？ 03/23 17:03
→ math1209:我習慣把相容把獨立一起看 CH. 至於 AC, 我也把它納入 03/23 20:27
→ math1209:Z-F 系統裡. 03/23 20:28
→ math1209:畢竟缺了 AC, 很多東西都不能做了. 03/23 20:29
→ math1209:此處 AC 我想你應該是指選擇公設. 03/23 20:29