→ blackpaladin:1怪怪的 我在想一下 06/14 20:41
※ 編輯: blackpaladin 來自: 140.116.21.23 (06/14 21:24)
※ 編輯: blackpaladin 來自: 140.116.21.23 (06/14 21:32)
※ 引述《Joshlinyc (我是假許靈)》之銘言：
: 1.從整數1到200之中任選101個，試證在選出的號碼中必有一整數整除另一整數。
第一題改一下 我們做這樣的圖
最底下的元素都是質數
而假設有一數m=pq 兩數的乘積 我們就畫
m
/ \
p q
表示m為p與q的倍數
因此1~200會出現100個頂點 因為他們的倍數會超過200
就是101到200
因此只要多點一點 都會是他們的因數
再者 如果有一些最高點m不用
假設m=(p1)(p2).....(pn)是質因數分解 不作連乘
而且(p1)最小
則我們用m'=(p2).....(pn)取代
因為在多點一點A是m的因數而不是m'的因數時
因為A比m'小 假設A=(p1)(p3).....(pn)
我只要做一數 (p1)*A 他是A的倍數 又比m小 因此比200小
因此必定有一個新頂點是A的倍數
這裡當然假定去掉的(p2)>(p1)
因為(p1)最小 而且相等時 代表我取的A=m
所以我不管怎麼畫 一定會用100個點 把所有最高點點滿
第101點必定是因數
: 2.試證:任一整數N，必有一N的倍數是由數字0及7所組成的。
: (例如 N=3時 ， 可有259*3=777: N=4時 有1925*4=7700: N=5時 有14*5=70:
: N=6時 有1295*6=7770)
: 提是:考慮下列數被N除時之餘數，7,77,777,7777,....,77...77。
: ↑ N個 ↑
第二題是學長提供的
假設 7....7(有m個)=7m 然後餘數分別為 0, 1, ....., n-1
若7m=0(mod n)那就是答案
如果巧合的都不是0 則必有兩數的餘數相同
假設為7h與7k 而且h>k
則解為7h-7k
我原本想去費馬小定理的........
: 3.(a)試證:任選n+1個整數中，必有二數之差可被n整除。
: (b)試證:任選n+2個整數中，必有二數之差或和可被2n整除。
: 這三題想不太出來 很卡 麻煩各位了<(__)>
(a) 必有兩數是同一個餘數
(b) 將餘k與餘2n-k的桶子綁在一起 一共有n+1個
(因為餘n自成一桶 餘0也是)
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