推 hcsoso :correct!! 辛苦你了，這題也可以考慮用生成函數！ 04/24 22:50
推 MOONY135 :沒算錯 非常感謝你 因為我昨天翻書也發現... 04/25 10:51
→ MOONY135 :其實n+3 也是算(1)^n次方 04/25 10:52
※ 引述《MOONY135 (柳生劍影)》之銘言：
: find the solution of the recurrence relation
: a_n=4a_n-1 -3a_n-2 + 2^n + n +3
: with a_0=1 a_1=4
: 一般來講作法是 當 F(n)=2^n時 只有這項
: 則令 an=C*2^n帶入 求特解
: 如果當 F(n)=n+3時 只有這項
: 則使用an=A*n+B代入求特解
k k-1 n
這一題有一個要注意的地方:若你的特殊解型如 (a n + a n +....+a ) q,
k k-1 0
m k k-1 n
且q為方程式的齊次解 => 特解需假設為 n (a n + a n +....+a ) q
k k-1 0
其中m為q在特徵方程式的重根數
所以我們要先解特徵方程式
n (經過一番整理) 2
=> 令a = r ==============> r - 4r + 3 = 0
n
=> r = 1 or 3
n n
非齊次部分可寫成 2 + (n + 3)1 (還蠻容易忽略的!!)
=> 把特解分成兩部分看: 2^n 及 (n+3)1^n
而2^n生出特解 c*2^n(2不是特徵方程式的根)
n+3生出特解 n(dn+e)(1是特徵方程式的解!!)
n 2
=> 特解 a = (c*2 + dn + en) (就加起來就好了!)
p n
代入遞迴式,經一番整理得 (c/4+1)2 + (4d+1)n +(2e-8d+3) = 0
=> c/4 + 1 = 0, 4d + 1 = 0, 2e-8d+3 = 0 (如此,兩邊才會一致(零函數))
=> c = -4, d = -1/4, e = -5/2
n n n 2
=> a = p*3 + q*1 + (-4*2 - n / 4 - 5n/2)
n (齊次部分) ( 非齊次部分 )
=> 根據初始條件
a = 1 = p+q-4 (代入上面假設的通式)
0
a = 4 = 3p+q-8-1/4-5/2 (同樣比照辦理)
1
=> p = 39/8, q = 1/8
n n+2 2
所以 a = 39*3 / 8 - 2 - n / 4 - 5n/2 + 1/8
n
可以參考 Ralph P. Grimaldi, "Discrete and Combinatorial Mathematics"
(我覺得Rosen講得太簡略了(個人觀感),不過它有提到這一個情形)
希望沒有算錯
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◆ From: 114.43.164.246
※ 編輯: yueayase 來自: 114.43.164.246 (04/24 22:09)
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