推 sato186 :GJ!! 08/10 03:21
※ 引述《mqazz1 (無法顯示)》之銘言：
: for every positive integer n
: prove that n! = Σ(k=0 to n) (-1)^k C(n, n-k) (n-k)^n
: 請問這題應該怎麼證明呢?
令A1,A2,...,An 代表n個不同的盒子
a1,a2,...,an 代表n顆不同的糖果
問
若要求每個箱子恰放入一顆糖果，則總共有幾種不同的放法?
法1:
n!
法2:
利用排容原理
令
Ei:代表i箱子中沒有糖果 (1≦i≦n)
|B|:代表B集合的個數
所求
c c c
=|(E1 )∩(E2 )∩...∩(En )|
c
=|(E1∪E2∪...∪En) |
=n^n+(-1)C(n,1)*(n-1)^n +(-1)^2 C(n,2)*(n-2)^n +....+(-1)^n C(n,n)*(n-n)^n
n
=Σ(-1)^k C(n,k) (n-k)^n
k=0
n
=Σ(-1)^k C(n,n-k) (n-k)^n
k=0
--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.203.189
※ 編輯: cometic 來自: 140.114.203.189 (08/10 03:18)