※ 引述《mqazz1 (無法顯示)》之銘言：
: prove the following equation with generating function:
: [C(n, 0)]^2 + [C(n,1)]^2 + ... + [C(n,n)]^2 = C(2n, n)
: 請問要如何證明這個式子呢?
這題有2種解法
1.用二項式定理展開(1+x)^n和(x+1)^n
展開後的2個式子相乘
得到的x^n係數就是[C(n, 0)]^2 + [C(n,1)]^2 + ... + [C(n,n)]^2
也就是(1+x)^n*(x+1)^n中x^n的係數=C(2n,n)
原題就證出來了
如果怕複雜的話可以用另一種角度來看
2.等號右邊的C(2n,n)是從2n 個相異物取出 n 個的方法數
把2n個相異物平分成A,B兩堆,每堆各n個
原題的2n個相異物取出n個可看成
從A堆中取出0個的方法數*從B堆中取出n個的方法數
+從A堆中取出1個的方法數*從B堆中取出n-1個的方法數
+.......
+從A堆中取出n-1個的方法數*從B堆中取出1個的方法數
+從A堆中取出n個的方法數*從B堆中取出0個的方法數
=C(n,0)*C(n,n)+C(n,1)*C(n,n-1)+........+C(n,n-1)*C(n,1)+C(n,n)*C(n,0)
因為C(n,k)=C(n,n-k)
所以會=[C(n, 0)]^2 + [C(n,1)]^2 + ... + [C(n,n)]^2
這種方法應該比較好算
--
動漫正妹排名
1.平沢ゆい 6.中野あずさ 11.桂ヒナギク 16.閃亮いんく 21.櫛枝みのり
2.日下部みさお 7.秋山みお 12.佐天るいこ 17.瀨戶さん 22.瀨川いずみ
3.涼宮ハルヒ 8.鷺之宮いすみ 13.柊つかさ 18.平井ゆかり 23.岡崎うしお
4.小早川ゆたか 9.平沢うい 14.御坂みこと 19.柊かがみ 24.古河なぎさ
5.桜野くりむ 10.琴吹つむぎ 15.真城りま 20.天江ころも 25.古手りか
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.126.115.31