作者simonjen (狂)
看板Math
標題Re: [離散] 證明|A| < |power set(A)|
時間Sat Sep 11 21:54:39 2010
※ 引述《mqazz1 (無法顯示)》之銘言：
: if A is any set,
: prove that |A| < |power set(A)|
: 請問這題該怎麼證明呢?
給定一個函數f: A -> power set(A) 使得 f(a) = {a}
那麼我們可以知道此為一對一函數 因此 |A| =< |power set(A)|
假定|A| = |power set(A)|
令Q是空集合
因為Q 包含於 A 所以 Q 屬於power set(A)
那麼可以找到一個元素a屬於和一個函數f是1-1且onto 使得 f(a) = Q
又因為a屬於A 所以{a}屬於power set(A)
因此又存在a_1屬於A 使得 f(a_1) = {a}
同上可以發現到a_2屬於A 使得 f(a_2) = {a_1}
......因此可以發現到a_1為a的後繼元 a_2為a_1的後繼元......
所以A的一個子集合等價於一個由所有自己的後繼元購成的集合{a,{a},{{a}},...}
根據Burali-Forti 悖論 A並不是一個集合 -><-
因此等號並不成立 //
所以|A| < |power set(A)|
S
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其實回這一篇只是想問
有哪一本書是很詳細在解釋何為class和set公理化的好書
好像很少書在討論這一個部分
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.32.191.224
推 sato186 :好好玩的證明 09/11 22:16
推 Xixan :那個定理有要求集合要有限喔… 09/11 22:31
→ Xixan :其實就是鴿籠原理拉 09/11 22:32
→ VFresh :你的預備定理怪怪的喔 09/11 22:58
→ sato186 :V老大說的對 那預備定理只在finite下成立 09/11 23:21
→ simonjen :soga 沒注意到這一件事 XD 09/12 00:07
自己修完了 不知道是否還有問題
仔細想一下 其實預備定理沒啥用 >.<
※ 編輯: simonjen 來自: 114.32.191.224 (09/12 00:24)
→ simonjen :不過我也蠻想知道我下面問的事情 還請板友不吝告知 09/12 00:26