推 ttinff :推一個!!! 12/28 21:33
推 thalesf :這個問題的確滿有趣的 12/28 23:25
推 srewq :推一個!!! 12/29 02:15
※ 引述《citronrisky (呆)》之銘言：
: 圓周率PI是個無理數，
: 根號2也是個無理數，
: 這些無理數無法寫成有限位小數的形式，
: 但是可以用有限的文字來描述，如：
: PI: 圓的周長與直徑的比值
: e: d(e^x)/dx = e^x
: sqrt(2): x^2 = 2 之正數解
: 請問，
: 每一個無理數都可以用有限文字來描述嗎?
其實是個還蠻有趣的問題!
這關係到 "描述的文字" 本身的特性;
如果我們把 "描述" 想成是一個函數從 "描述的文字集" 到 "被描述的文字集",
(在這裡被描述的就是實數)
那麼一個 bijection 應該就是表示每個文字都能被獨特的描述.
為了讓一個 "描述" 有意義,
我們應該限制描述的文字集每個元素長度必須是有限的,
不然無窮小數展開就是一種描述.
在這個意義下, 如果所謂的 "字母" 不夠時, 實數是無法被描述的.
想像如果是用電腦的語言, 也就是描述文字集為 {0,1}*
(這個記號表示所有由 0 與 1 形成的字串)
那麼我們可以知道是不可能描述實數的,
因為整個 {0,1}* 只有可數無限.
同理可推有限的字母集都不行.
即使我們的描述語言能容許使用自然數, 也就是 N*,
還是沒有辦法的, 理由相同.
但只要描述的語言本身字母也是不可數的, 如 R^*,
那就可以描述了, 但這樣的 "描述" 對我們來說不是很有意義,
原因是這個 "描述別人的文字集" 還是沒有辦法 "被描述",
頂多只能將一些在某個文字集下可能要用很長的字串描述的數字,
換成在另一個文字集下較短的字串罷了.
總而言之, 假如我們使用人類的語言 (如中文),
因為字母集是有限的,
我們即使用千奇百怪的方式定義了很多無理數,
仍然有不可數無窮個無裡數仍然是沒有辦法被描述的.
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◆ From: 220.133.15.15
※ 編輯: hcsoso 來自: 220.133.15.15 (12/28 21:33)