推 Babbage:好像有看過這篇文章,想不起來在哪裡 :P 推~ 140.112.50.223 06/24
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推 gary27:收到史話...^^140.134.242.144 06/24
※ 引述《plover (>//////<)》之銘言：
補一篇簡介的文章 O_o
集合論簡介
前言
數學研究的對象，從那些實際存在的事物中高度抽象出來的一類客體(object)，以
這些客體為基分析它構成客體的各個組合成分．我們將某客體的部分客體稱之為集
合(set)．我們可以說，通常的數學系統都是用一些集合來描述，而且也用集合來
構造．同時按學科本身的特有規律給集合以一些新的運算限制，形成該學科所要研
究的一種數學模型．
集合理論是完全就集合本身的一般規律建立起來的理論系統，它在近代數學的各個
分支中都是不可少的工具．近來有關集合論的研究日漸深入，普遍使用到各個方面
，所以，集合論是近代數學的基礎之一．從研究集合論的方法來說，較多是由非形
式觀點趨向形式體系，而與數學邏輯發生關係，使集合論占了數理邏輯的四大分支
之一．這四個分支是：1.模型理論 2.集合理論 3.遞歸理論 4.證明理論．
集合論研究的基礎是由人們熟知的一些關於有限集合的性質，從這些顯而易見的性
質尋求探索無限集合的途徑，和研究無限集合的具體方法．就有限集合來說，集合
的性質是十分顯然的．然而，研究集合論的主要目的是解決有關無窮集合的問題．
關於有限推理的方法能否直接引用到無窮集合? 普通推理分析的方法存怎樣的條件
下才能使用於無窮集合? 這是我們研究集合論的重點．今天的集合論已經解決了很
大一部分問題，但仍有很多待澄清的問題，需要進一步深入研究．
自從德國數學家 Cantor 證明了所有實數不能和自然數有一一對應的關係後，就開
始了抽象集合理論的研究．另一位德國數學家 Zermelo 於 1908 年發表了集合論
的第一套公理系統，後由 Fraenkel 於 1922 年加以改進補充，而構成了所謂的
ZF 公理系統．這是今天我們論述集合論的基礎．然而，集合論在建立之初，還來
不及研究本身的一致性，就在建立過程中發生了不少邏輯的矛盾．這些矛盾的嚴重
性，不但引起了數學乃至哲學的爭論，甚至引發數學界的分裂．
儘管如此，如果能仔細排除這些反論，集合論的公理體系仍帶給了數學論證上很大
的嚴密性．「數學家從事於更正他們的錯誤已達二千五百年之久，同時也體察他們
的科學是豐腴而非貧瘠的．這使得他們有權在展望未來時持著歡欣的態度．」這是
在法國一群以 Nicolas Bourbaki 為筆名的數學家所提出令人鼓舞的言詞．
集合論的歷史
集合論的中心難題是無限集合的概念．這類集合自然地引起自古以來許多數學家和
哲學家們的注意，但是很多看起來矛盾的特性使得人們對它的了解一無進展．亞里
斯多德承認有無限集的存在，但卻否認無限集合可存在為一固定的實體．對他而言
，集合至多是「潛在的」無限，這種準無限大的觀念一直深深地影響著兩千年來數
學的發展．
整個中世記，哲學家對於是否有無限集合這個問題一直採取模稜兩可的態度．他們
注意到兩個同心圓可藉著同一半徑而一一對應，但其中之一的周長卻大於另一個．
Galileo 亦曾研究過無限集合而反對它的存在，因為它無法順應一般推理．他提到
不同長度的兩線段 AB 和 CD 上的點可構成一一對應，因而可認為包含同樣多的點
．他又提到所有自然數可和其平方一一對應，只要將其平方即可．他認為這是顯然
矛盾的．數學王子 Gauss 也說道：「我反對將無限做為一真實的量來運用，在數
學上這是不允許的．無限只是一種說法上的方便……」 Cauchy 也像他的前輩一樣
否認無限集的存在．對他而言，部份可以和全部一樣多似乎不可思議．大部份的數
學家乾脆忽視這類他們無法解決的問題，他們都避免真正提及或認定無限集，雖然
他們一直在使用無限集合，比如實數集．然而，十九世紀面對分析高度發展的需求
時，他們已無法將無限集的問題擱置一旁了．
第一個對集合論做確定探討的人是微積分的奠基人之一 Bernhard Bolzano．他在
其「無限集的詭辯」一書中，為無限集合的存在做辯護．他還定義了集合的對等(
equivalence)，即兩集合元素間有一一對應的關係．這種對等的觀念不論有限集或
無限集均可運用．他認為在無限集合中，部份集合可以和本身對等，他堅持這個觀
念的重要和必須被接受．我們可以給無限集合一個「數」的表示，於是他賦予不同
的無限集一個不同的超限數(transfinite number)．但後來 Cantor 指 Bolzano
所賦予的超限數並不正確．
集合論的創始人是 George Cantor(1854-1918)‧他是生於蘇俄的丹麥猶太後裔，
後隨父母移居德國．他父親希望他學工程，他懷著這個志願進入柏林大學，在那裡
受到了 Weierstrass 的影響而轉攻數學．二十九歲時第一次在數學學報上發表革
命性的無限集合理論．他全新的創意與才華吸引了大家的注意．直至 1897 年，他
連續地發表了許多關於集合論及超限基數和序數的研究報告．
所謂集合，Cantor 認為是一些確定而相異事物的聚合，這個聚合我們能以心辨之
並決定某一事物是否屬於它．他認為只承認有「準無限集」的觀念是錯誤的，並反
駁早期數學家和哲學家對無限集的論調．對他而言，一個集合是無限的當且僅當它
能與它的一部分一一對應．他接著尋求區分無限集合大小的方法．和 Bolzano 一
樣，他認為主要原則在一一對應的概念．兩集合若能構成一一對應便稱此兩集合對
等或具有相同的「冪」(power)或「基數」(cardinal number)．若兩集合 M, N, N
可和 M 的一部分一一對應，M 卻不能和 N 的任一部份集合一一對應，則稱 M 的
冪大於 N 的冪．說明了集合相同和不同的冪之後，Cantor 繼續發展這種「冪」的
觀念，並引入基數和序數的理論．其中以超限基數和超限序數是最精彩的一支．
Cantor 從 1879 年發表在「數學年報」的一系列論文中逐漸發展這套理論．在其中
一篇論文中，Cantor 寫道：「關於集合理論的研究，我的描述已達到了一個階段，
它們能否繼續有賴於實數能否超越目前的極限而一般化．這種一般化顯然將採取一
種前所未曾嘗試的方向．我深深地依賴這種一般化的數的概念，以致於若沒有它，
我無法在集合論中跨前任一小步．因此為了必要，請原諒我在論證中引入新奇的概
念……然而，在我進行這些步驟時，我已將自己投身於反對的聲浪之中……」
Cantor 的理論解決了許多問題並革新了很多古老的觀念，然而這些理論在當時卻難
以得到大家立即的接受．對 Cantor 理論反對最強烈的是在當時的數學權威之一
Kronecker．整整有十年的時間，Kronecker 一直在無情地打擊著 Cantor， Cantor
想進入柏林大學任教的願望也受到 Kronecker 的阻撓而作罷．雖然在 1891 年
Kronecker 死了，但他的攻擊使數學家對 Cantor 的工作一直深懷戒心． Cantor
本入也因此受到強大的精神壓力而患了精神分裂症，於 1918 年病逝於哈雷精神病
研究所．
自希臘以來，被認為已呈間歇的數學領域中，Cantor 的集合論無疑是項大膽的嘗試
．它嚴格地要求純理性的論辯，並肯定高階無限集合的存在．一切已超越人類直覺
所能掌握，這種遠較前入為激變的思想若未遭遇反對反倒是件奇事了．而從集合論
中產生的一些反論，亦使人們益發懷疑其理論的正確性．除了 Kronecker 的激烈反
對外，其它數學家亦不表同情．法國數學家 Poincare 苛刻地批評說：「它產生了
許多我們遭遇到的詭辯，令季諾學派深以為滿意的矛盾…… 我們不應介紹一些無法
用有限詞句能完全定義的事物．」他並指出集合論是個有趣的「病例」，並預測說
「後世將認為這是一個我們曾經誤入的歧途」． Weyl 則認為 Cantor 的 aleph 層
次是「霧中之霧」．
然而，真理只接受實踐的檢驗，而不會屈服於權威之下．許多傑出的數學家仍然深
深地感受到集合論所提供的用途．在第一屆國際數學家年會中，Hurwitz 和
Hadamard 指明超限數論在分析上的重要應用．其它方面的應用也很快地在測度論和
拓樸學中發現．當代數學大師，形式主義學派的領導人 David Hilbert 曾大力地宣
揚 Cantor 的思想．他說：「沒有人能將我們趕出 Cantor 所為我們創造的伊甸園
．」他讚揚 Cantor 的理論：「最令人驚異的數學思想成果，是人類純理智活動最
美麗的表現．」邏輯主義學派的代表人物 Russell 亦形容它：「可能是這個時代所
能誇口最偉大的作品．」以今日眼光觀之，這個 Cantor 為數學家所創造的樂園，
不僅不是什麼疾病，而是現代數學的出發點．
集合論的反論
二十世紀的數學家們最具深度的活動是基礎方面的研究．數學家們以往一廂情願的
假設現在轉而成為衝擊他們的問題．這些活動在本世紀初因一些矛盾的發現而揭開
序幕．這些矛盾被稱為一種較溫和的字眼「反論」(paradox)．另一方面，數學的一
致性(consistence)亦是在這個世紀初期，逐漸被意識出來而公開的一個問題．從集
合論裡反論的出現看來，集合論特別需要建立其一致性．「反論」一詞是含混的，
因為它應該是與一個已知的矛盾相比較，但數學家所遭遇的是無可置疑的矛盾．
Cantor 在寫給 Dedekind 的信中問道，是否所有基數的集合亦成一集合，如果是，
則應有一基數大於所有的基數．後來他藉著區分一致集和非一致集(consistent
sets & inconsistent sets)否定了那種集合．而 Burali-Forti 指出所有序數形成
的序列，因為具有良序性，故應有一最大的序數做為此序列的序數，而此序數將大
於所有的其它的序數．這就是 Burali 反論．
另一著名的反論是 Russell 反論．Russell 以通俗的方式敘述其反論--理髮師反論
(barber paradox)：一個鄉村的理髮師吹噓他沒有對手，他宣稱將為那些不為自己
理髮的人理髮，並且不為那些替自己理髮的人理髮．於是，有人問他，那你是否應
為自己理髮呢? 若他為自己理髮，由他自己的宣稱，他就不該為他自己理髮，但若
他不為自己理髮，按自己所言他又該為自己理髮．於是這個理髮師陷入了邏輯的困
境之中．
Cantor 在 1899 年寫給 Dedekind 的信中指出，若有人討論所有集合的集合，他將
無法避免於矛盾．這在本質上就是 Russell 的反論．所有人的類聚(class)並非一
個人，但所有觀念的類聚仍是一個觀念，藏書的類聚仍是藏書．因此有些類聚並非
自身的元素，但有些則是．若我們把可為自身元素的類聚叫 M，另一類叫 N，則 N
本身是一個類聚．它是屬於 M 還是 N ? 若 N 屬於 N，則按 M 的定義 N 該屬於 M
，但若 N 屬於 M，因為 M, N 是互斥的，N 必不屬於 N，這樣一來 N 既非自身的
元素，則 N 應屬於 N．
由 Jules Richard 所提出的 Richard 反論又不同於前述的邏輯反論，而是一種所
謂的語義反論．為了通俗起見，我們用中文來描述這個反論．中文的單詞是有限的
．用詞句，語法組合起來的中文句子也只有可數多個．這些句子中，有些能定義一
個一元數論函數．例如這句話「在任意給定的自然數上，其值為這個數的平方」定
義了一個數論函數
f(n) = n^2
現在，把所有可以定義一元數論函數的語句拿出來，按照字典順序進行枚舉：
E_0 , E_1 , E_2 ,...
它們分別定義函數
f_E_0 , f_E_1 , f_E_2 ,...
現考慮下面的語句：「一個函數，它在任意給定的自然數上，其值為上面序列中對
應於此自然數的函數在此自然數上的值加一」．也就是說，這個中文語句就定義了
一函數 f，它在任一數 n 上的值為 f_E_n(n)+1．這個函數顯然和上面序列中的任
意函數都不相同．但我們已假設上面的序列能列舉所有能用中文語句定義的一元函
數，這就構成 Richard 反論．
Richard 反論還有一更通俗的形式．我們還是用中文敘述這個反論：「用少於十九
個中文字不能定義的最小整數」．這句話定義了一個整數，按定義是不能用少於十
九個中文字來定義的，但這句話只有十八個字! 這是 Richard 反論的一個變形．值
得注意的是，Richard 反論和 Cantor 所創立的對角線法非常類似，因此就引起人
們更大的興趣．
這些反論的出現強烈震撼了數學的基礎．當數學家們正企圖用集合論調理許多古典
數學理論時，反論的出現每每動搖他們的信心．數學家們開始懷念反論尚未出現的
良辰美景．
集合論的公設化
數學家為數學基礎開出的第一張藥方是把 Cantor 的即興之作公設化．其實這樣的
處方並不新鮮，將幾何及數系公設化曾經解決它們的邏輯問題．因此公設化方法至
少應能使集合論裡的困難明朗化．
公設化運動由德國數學家 Ernst Zermelo 著手進行．他以為反論之所以出現，是因
為 Cantor 沒有把集合的觀念加以限制． Cantor 對集合的定義是含混的．Zermelo
希望清晰而明顯的公設能使集合的定義及所應具有的性質更為顯然． Cantor 曾經
區分了一致集和非一致集．Zermelo 自信能把他的集合侷限於 Cantor 的一致集合
，這些集合必能滿足數學之所需．他的公設體系包含一些基本觀念及公設本身所定
義的基本關係，而不是公設所述明的觀念即未曾動用． Zermelo 的計劃是只把不會
引起反論的類聚置於集合論裡．例如空的類聚，有限類聚和自然數類聚等看起來都
是安全的．由一些已知的安全類聚所衍生出來的類聚，如部份類聚，安全類聚的聯
集，一個安全類聚的所有部份類聚的類聚也是安全的．但他排除了補集的安全性．
Zermelo 的計劃由 Abraham A. Fraenkel 和 J. Neumann 加以改進．這套系統我們
今天稱為 Zermelo-Fraenkel 公理系統，簡稱 ZF．在 ZF 裡面區分了類聚(class)
和集合(set)．類聚是大到不能含於其它集合或類聚的集合，集合是較多限制的類聚
．根據 Neumann 的說法，集合不容許引起矛盾，但可以當做其它類聚的元素．
ZF 的公理系統已能把集合論拓展到符合古典分析的應用，也能防止反論的出現，至
少迄今無人在這套理論中發現反論．但這套公設化集合論的一致性並未完全被證明
過．關於此點，Poincare 有一段貼切的比喻：「我們已用圍牆把一群羊圍住，以防
止野狼的入侵．但我們不知這圍牆內是否早已有野狼的存在．」
所謂一致性，也可稱為相容性，協調性或非矛盾性，即指一公理體系內的各個公設
之間在有限的邏輯推理下不會導致矛盾．很顯然的，如果一個系統內的公設是相互
矛盾的，那麼這個公理系統將無任何價值可言．當數學被視為是自然的真理時，互
相矛盾的定理是不可能發生的．因此一致性也就成了無稽之談．但自從非歐幾何興
起後，它與實體感覺格格不入，而引起一致性的問題．至 1800 年代，人們逐漸意
識到算術和歐氏幾何並非真理，這使得研究它們的一致性變成十分重要的事．
Hilbert 曾在假設算術公設是一致的情況下，成功地建立了幾何的一致性．這是所
謂的相對性證明．他在 1900 年的巴黎演說中提出著名的二十三個數學問題，其中
集合論的連續統假設和算術的一致性分列第一，二個． Hilbert 強調這是數學基礎
中十分重要的問題．他還樂觀地認為，必能在有限的邏輯步驟下，證明算術系統的
絕對一致性． Pringsheim 也說過：「數學所探尋的真理就是一致性．」
除了一致性的問題之外，為了證明良序原理，Zermelo 在集合論中引入了選擇公理
(axiom of choice, AC)．許多數學家認為這個公理是有瑕疪的．選擇公理的大意是
說在一由任意多集合所組成的集合族中，必可從其每一集合中挑選一元素組成一集
合．如果這集合族是有限的，那麼這樣的挑選是顯然的．但在一無限大的集合族中
進行這樣挑選的可行性就倍受質疑．這個公理的必要性和獨立性在一段相當長的時
間裡懸而未解．直到 1940 年和 1963 年才分別由德國數學家 Godel 及美國數學家
Cohen 證明了選擇公理對 ZF 公理系統的一致性及獨立性．
百家爭鳴
儘管一致性問題和選擇公理的身份未成定論，集合論的公設化至少使數學家們化解
各種反論，並且將對基礎的問題的興趣冷卻下來．但在此時，對數學基礎的看法各
家紛起，它們無疑是因為反論和一致性問題的催生而得以見世．這時候，最具代表
性的學派有三個，互相爭論．它們分別是由 Russell 和 Whitehead 創建的邏輯主
義學派，由 Brower 及 Weyl 為代表的直覺主義學派，以及由 Hilbert 為領導人的
形式主義學派．
Russell 和 Whitehead 的邏輯主義認為，數學來源於邏輯，並且是邏輯的延拓．由
於邏輯的一致性是無可置疑的，透過邏輯處理，數學就成了從邏輯原理出發的一系
列推理．邏輯本身有一些公理，由邏輯導出數學就無需再為數學擺上公理．但這種
純邏輯觀點的態度招致了相當多的批評．若這種觀點是對的，則數學是一個純粹形
式，完全邏輯演繹的科學．它的定理是純思想定律的產物，怎能應符千變萬化的自
然現象和物理定律? 這是難以解釋的．但儘管有許多批評，還是有許多數學家接受
了這套哲學．Russell 和 Whitehead 提供了完全公設化的邏輯，並以純符號的形式
表達出來，使數學邏輯獲益良多．
現代直覺主義的創建人是 Brower．Brower 以為數學思想是一個構造的過程．數學
的本質是與經驗無關的，它是一種自由的設計，而只受到基本數學直覺的規範．
Brower 認為在架構過程中，若能仔細判斷那些論點能為直覺所接受，那些則不能，
就必能具備數學所謹有可能的基礎．所以直覺主義者著手分析那些邏輯的原理可為
直覺所接受，並與直覺並行不悖．Brower 批判使用排中律的間接論證法，他認為這
個方法不適用於無限集合．排中律是起源於有限集合子集上的推理，不應無根據地
把它應用到無限集合上去．在論及無限集合時，直覺主義者堅持有第三種可能的敘
述．例如，若有人證明了在某一無限集合中並非所有的元素都具有某一性質時，並
不能就斷言至少有一元素不具有該性質．因此以間接方法證明存在性亦不為直覺主
義者接受． Weyl 批評這種方法是，它告訴大家有一個寶藏，但沒有指出確切的地
點．直覺主義還堅持數學對象必須是可構造的，也就是說，必須是能具體給出，或
能給出一個得到某一對象的計算方法．顯然地，直覺主義所認定的數學，和 1900
年代以前數學家所接受的數學有相當大的差異．
然而，直覺主義否定實無窮，禁用排中律，提倡可構造的結果，導致一大批古典數
學的失效，高等數學的大部份成果都被丟棄掉了． Hilbert 便嚴詞批評禁用排中律
的態度：「禁止數學家使用排中律，就好像禁止天文學家使用望遠鏡，或禁止拳擊
手使用手套一樣．」連 Weyl 也不得不承認：「Brower 曾使數學獲得了它最高的直
觀明顯……但不能否認的，在向著更高級理論邁進時，卻產生了幾乎無法容許的尷
尬後果，數學家痛心地看到他所認為用具體材料搭成的大廈竟會消失於眼前濃霧之
中．」
為了從直覺主義者手中挽救古典數學，並且避開集合論的反論而為數學提供基礎，
建立算術的一致性，自 1917 年起 Hilbert 用了二十多年的時間從事數學基礎的研
究工作，奠立了形式主義學派的根基(儘管他本人並不自命為形式主義者)．形式主
義學派認為，邏輯和數學必須同時處理，在數學中的每一領域都應借助邏輯和數學
的概念而獲得一公理基礎． Hilbert 說：「數學思想的內涵就是符號．符號是主體
，不必再把它附會為實體物之理想化．形式雖蘊涵直覺的意義，但這種蘊涵並不屬
於數學．」Hilbert 及其門生於 1920 至 1930 年間，逐漸發展出一種所謂的元數
學(Metamathematics)的理論，這是一種建立形式系統一致性的方法．在元數學中，
Hilbert 倡議使用一種特別的邏輯，這種邏輯是一切的基礎，並能免於矛盾．
為了絕對地證明古典數論的一致性，Hilbert 希望採用一種直接的方法，這種方法
是由一致性的意義直接得出來的．也就是說，在一個理論中不能由公理既導出命題
A，又導出其否定式非 A．因此，我們必須證是關於該理論本身的命題，特別是該理
論中各條定理的一切可能的證明．於是，該數學理論本身就成了另一種數學研究的
對象．被研究的理論稱為「對象數學」，而研究對象數學的「另一種數學」，
Hilbert 就稱之為「元數學」．元數學是研究對象數學的基本工具，它應當是可靠
的，並且只能使用有窮邏輯和不含實無窮的初等數論．這套方法就構成了所謂的
Hilbert 方案：將古典數學表示為形式公理理論，並用有窮方法證明這一理論的一
致性．
Hilbert 方案的中心概念是有窮方法．這是由直覺主義者首先提倡的．但兩者所持
的觀點截然不同．主要徵結在於對實無窮的態度．直覺主義者認為人類的思考是有
限的，因而反對任何實無窮概念的存在．形式主義者則認為古典數學的一致性問題
是由實無窮引起的，因此在論證古典數學沒有矛盾時，只能採取在直觀上明顯可靠
的，在有限邏輯步驟上能證明的，否則就會引起循環論證的問題．然而一旦用有窮
方法證明了算術系統的一致性之後，依靠算術所建立起來的實數理論及古典分析的
合理性便無可置疑． Hilbert 在數學問題的演說中便強調：「一旦完成了一致性的
證明，曾有對實數系存在性的懷疑將完全消失．」
Hilbert 及其合作者按照 Hilbert 方案對數論及分析的一致性進行研究，並取得了
部份的成果．然而，Hilbert 在當時並不了解證明古典數學一致性在本質上的困難
．直至 1930 年，他還樂觀的認為，只要作出足夠的努力，並對已有的結果作較直
接的擴充，就能達到他所希望的目的．
最近的發展
正當形式主義學派信心滿滿地致力於 Hilbert 方案的實施時，德國數學家 Kurt F.
Godel 給了他們一記沉重的打擊．這就是 1931 年，Godel 所發表的著名論文「論
數學原理和有關系統的形式不可判定命題與論完全性和一致性」，其主要結論即所
謂的 Godel 不完全性定理：如果一個形式系統是無矛盾的，而且足夠豐富可以包含
算術公理，那麼它是不完全的．也就是說，存在一形式公式 S 使得 S 及非 S 都不
是系統的定理．因此在數論中存在不能證明的真敘述．這是 Godel 的第一定理，適
用於 Russell 和 Whitehead 的「類型論(theory of types)」， ZF 公理系統及
Hilbert 的數論公設化．
不僅如此，Godel 第二定理更表明了，如果這個形式系統是沒有矛盾的，那麼其一
致性的形式證明是不存在的．這一結果，直接破滅了 Hilbert 的理想，絕對地證明
數論的一致性．Hilbert 得知此結果後十分震驚，他隨即決定把證明一致性的有窮
方法加以擴充，允許使用超限歸納法．1936 年，Gentzen 用超限歸納法證明了形式
數論系統的一致性．然而，這已經不是嚴格意義下的有窮方法了．
Godel 所構造的不可判定命題帶有過多人為雕鑿的痕跡．然而，1982 年，美國數學
家 Paris, Harrington 及 Friedmann 相繼在有限組合理論中，找到了既不能肯定
不又能否定的命題．由此看來，Godel 定理似乎已越出邏輯學，數學基礎和哲學的
範圍，而對當代日常數學發生影響．
除了不完全性定理之外，Godel 於 1940 年又證明了如果 ZF 系統在去掉選擇公理
後是一致的，那麼加上這個公理後仍是一致的．同樣的，連續統假設(continumm
hypothesis)與 ZF 系統也是一致的． Godel 引入了可構成公理，證明如果 ZF 有
模型，那麼 ZF+AC，ZFC+CH 仍是有模型的．因而肯定了選擇公理與連續統假設和
ZF 系統的相對一致性．
更進一步，1963 年 Stanford 大學教授 Paul J. Cohen 證明選擇公理與連續統假
設是獨立於 ZF 系統的． Cohen 提出了力迫方法與脫殊集合的概念，建立了 ZF 系
統的一個模型，在其中 AC 不成立．因而說明了選擇公理獨立於 ZF 系統．進一步
，還可以為 ZFC 構造一模型，使得 CH 不成立．也就是說，ZF 公理系統再加上選
擇公理也不能證明連續統假設．
參考書目
集合論 凡異出版社
哥德爾不完全性定理 九章出版社
連續統假設 九章出版社
數學史 九章出版社
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