丘成桐（在北大百周年校慶學術報告會上的演講）
今天要講的是數學的內容、方法和意義，這原是蘇聯人寫的一本書的書名，和今天的
演講內容借過來作為演講的名稱。
今天是北大百周年校慶，五四運動便是北大學生發動的。作為演講的引子，讓我們先
簡略地回顧一下“五四”前後中西文化之爭。十九世紀中業以後，中國對西文科技的認識
，是“船豎炮利”，在屢次戰爭失利後，張之洞提出了“中學為體、西學為用”的主張，
即以傳統儒家精神為主，加入西方的技術。到了五四運動前後便有了科玄論戰。以樑漱溟
為主的一派以東方精神文明為上，捍衛儒學，以為西方文明強調用理性和知識去征服自然
，缺乏生命之道，人變成機械的奴隸；而中國文化自適自足，行其中道，必能發揚光大。
其時正值第一次世界大戰結束，西方哲學家羅素等對西方物質文明深惡痛絕，也主張向東
方學習。另一派以胡適為首者則持相反意見，他們以為在知識領域內科學萬能，人生觀由
科學方法統馭，未經批判及邏輯研究的，皆不能成為知識。
科玄論戰最終不了了之，並無定論。兩派對近代基本科學皆無深究，也不收集數據，
理論無法嚴格推導，最後變得空泛。其實這便是中國傳統文化之一特點。一方面極抽象，
有質而無量，儒道皆雲天人合一，禪宗又雲不立文字，直指心性。另一方面則極實際，莊
子說“蔽於天而不知人”。古代的科學講求實用，一切為人服務，四大發明之一指南針、
造紙、印刷術、火藥莫不如此。要知道西方技術之基礎在科學，實際和抽象的橋樑乃是基
本科學，而基本科學的工具和語言就是數學。
歷代不少科學家對數學都有極高的評價。我們引一些物理學家的話作為例子。R.Feynman
在「物理定律的特性」一書中說我們所有的定律，每一條都由深奧的數學中的純數學
來敘述，為什麼？我一點也不知道。E.Wigner說數學在自然科學中有不合常理的威力。F
.Dyson說：在物理科學史歷劫不變的一項因此,就是由數學想像力得來的關鍵貢獻，基本
物理既然由高深的數學來表示。應用物理，流體等大自然界的一切現象，隻要能得到成熟
的了解時，都可以用數學來描述。寫過「湖濱散記」的哲人梭羅也說有關真理最明晰，最
美麗的陳述，最終必以數學形式展現。
其實數學家不只從自然界吸收養分，也從社會科學和工程中得到啟示。人類心靈中由
現象界啟示而呈現美的概論，只要能夠用嚴謹邏輯來處理的都是數學家研究的對象。數學
和其他科學不同之處是容許抽象，只要是美麗的，就足以主宰一切，數學和文學不同之處
是一切命題都可以由公認的少數公理推出。數學正式成為系統性的科學始於古希臘的歐機
裡德，他的「幾何原本」是不朽名作。明末利瑪竇和徐光啟把它譯成中文，並指出“十三
卷中五百余題，一脈貫通，卷與卷，題與題相結倚，一先不可後，一後不可先，累累交承
漸次積累，終竟乃發奧微之義”。復雜深奧的定理都可以由少數簡明的公理推導，至此
真與美得到確定的意義，水乳交融，再難分開。值得指出，歐基里德式的數學思維，直接
影響了牛頓在物理上三大定律的想法，牛頓距著「自然哲學的數學原理」與「幾何原本」
一脈相承。從愛因斯坦到現在的物理學家都希望完成統一場論，能用同一種原理來解釋宇
宙間的一切力場。
數學的真與美，數學家的體會深刻。Sylvester說“它們揭露或闡明的概念世界，它
們導致的對至美與秩序的沉思，它各部分的和諧關聯，都是人類眼中數學最堅實的根基”
。數學史家M.Kline說“一個精彩巧妙的証明，精神上近乎一首詩”。當數學家吸收了自
然科學的精華，就用美和邏輯來引導，將想像力發揮的淋漓盡致，創造出連作者也驚嘆不
已的命題。大數學家往往有宏偉的構思，由美作引導，例如Weil猜想促成了重整算數機何
的龐大計劃，將拓撲和代數幾何融入整數方程論中。由A.Grothendieck和P.Deligne完成
的Weil猜想，可說是抽象方法的偉大勝利。回顧數學的歷史，能夠將幾個不同的重要觀念
自然融合而得出的結果，都成為數學發展的裡程碑。愛因斯坦將時間和空間的觀念融合，
成為近百年來物理學的基石；三年前A.Wiles對自守型式和Fermat最後定理的研究，更是
扣人心魄。數學家能夠不依賴自然科學的啟示得出來的成就，令人驚異，這是因為數字和
空間本身就是大自然的一部分，它們的結構也是宇宙結構的一部分。然而，我們必須緊記
，大自然的奧秘深不可測，不僅僅在數字和空間而已，它的完美無處不在，數學家不能也
不應該抗拒這種美。
本世紀物理學兩個最主要的發現：相對論和量子力學對數學造成極大的沖擊。廣義相
對論使微分幾何學“言之有物”，黎曼幾何不再是抽象的紙上談兵。量子場論從一開始就
讓數學家迷惑不已，它在數學上作用仿如魔術。例如Dirac方程在幾何上的應用使人難以
捉摸，然而它又這麼強而有力地影響著幾何的發展。超對稱是最近二十年物理學家發展出
來的觀念，無論在實驗或理論上都頗為詭秘，但借著超弦理論的幫助，數學家竟能解決了
百多年來懸而未決的難題。超弦理論在數學上的真實性是無可置疑的，除非造化弄人，它
在物理上終會佔一席位。
上世紀末數學公理化運動使數學的嚴格性堅如盤石，數學家便以為工具已備，以後工
作將無往而不利。本世紀初Hilbert便以為任何數學都能用一套完整的公理推導出所有的
命題。但好景不常，Godel在931年發表了著名的論文“「數學原理」中的形式上不可斷定
的命題及有關系統I”。証明了包含著通常邏輯和數論的一個系統的無矛盾性是不能確立
的。這表示Hilbert的想法並非是全面的，也表示科學不可能是萬能的。然而由自然界產
生的問題，我們還是相信Hilbert的想法是基本正確的。
數學家因其品稟各異，大致可分為下列三種：
(一)創造理論的數學家。這些數學家工作的模式，又可粗分為七類。
●從蕓蕓現象中窺見共性。從而提煉出一套理論，能系統地解釋很多類似的問題。一個明
顯的例子便是上世紀末Lie在觀察到數學和物理中出現大量的對稱後，便創造出有關微分
方程的連續變換群論。李群已成為現代數學的基本概念。
●把現存理論推廣或移植到其它結構上。例如將微積分由有限維空間推廣到無限維空間，
將微積分用到曲面而得到連絡理論等便是。當Ricci,Christofel等幾何學家在曲面上研究
與座標的選取無關的連絡理論時，他們很難想像到它在數十年後的Yang-Mills場論中的重
要性。
●用比較方法尋求不同學科的共同處而發展新的成果。例如：Weil比較整數方程和代數幾
何而發展算數幾何：三十年前Langlands結合群表示論和自守形式而提出
“Langlands綱領"，將可以交換的領域理論推廣到不可交換的領域去。
●為解釋新的數學現象而發展理論。例如：Gauss發現了曲面的曲率是內蘊（即僅與其第
一基本形式有關）之後，Riemann便由此創造了以他為名的幾何學，成就了近百年來的幾
何的發展；H.Whitney發現了在纖維叢上示性類的不變性後，Pontryagin和陳省身便將之
推廣到更一般的情況，陳示性類在今日已成為拓撲和代數幾何中最基本的不變量。
●為解決重要問題而發展理論。例如J.Nash為解決一般黎曼流形等距嵌入歐氏空間而發展
的隱函數定理，日後自成學科，在微分方程中用處很大。而S.Smale用h-協邊理論解決了
五維或以上的Poincare猜想後，此理論成為微分拓撲的最重要工具。
●新的定理証明後，需要建立更深入的理論。如Atiyah-Singer指標定理，Donaldson理論
等提出後，都有許多不同的証明。這些証明又引起重要的工作。
●在研究對象上賦予新的結構。Kahler在研究復流形時引入了後來以他為名的尺度；近年
Thurston在研究三維流形時，也引進了“幾何化”的概念。一般而言，引進新的結構使廣
泛的概念得到有意義的研究方向。有時結構之上還要再加限制，如Kahler流形上我們要集
中精神考慮Kahler-Einstein尺度，這樣研究才富有成果。
（二）從現象中找尋規律的數學家。這些數學家或從事數據實驗，或在自然和社會現象中
發掘值得研究的問題，憑著經驗把其中精要抽出來，作有意義的猜測。如Gauss檢視過大
量質數後，提出了質數在整數中分布的定律；Pascal和Fermat關於賭博中賠率的書信，為
現代概率論奠下基石。五十年代期貨市場剛剛興起，Black和Scholes便提出了期權定價的
方程，隨即廣泛地應用於交易上。Scholes亦因此而於去年獲得諾貝爾的經濟學獎。這類
的例子還有很多，不勝枚舉。
話說回來，要作有意義的猜測並非易事，必須對面對的現象有充分的了解。以紅樓夢
為例，隻要看了前面六七十回，就可以憑想像猜測後面大致如何。但如果我們對其中的詩
詞不大了解，則不能明白它的真義。也無從得到有意義的猜測。
（三）解決難題的數學家。所有數學理論必須能導致某些重要問題的解決，否則這理論便
是空虛無價值的。理論的重要性必與其能解決問題的重要性成正比。一個數學難題的重要
性在於由它引出的理論是否豐富。單是一個漂亮的証明並不是數學的真諦，比如四色問題
是著名的難題，但它被解決後我們得益不多，反觀一些難題則如中流砥柱，你必須將它擊
破，然後才能登堂入室。比如一日不能解決Poincare猜測，一日就不能說我們了解三維空
間！我當年解決Calabi猜測，所遇到的情況也類似。
數學家要承先啟後，解掉難題是“承先”，再進一步發展理論，找尋新的問題則是“
啟後”。沒有新的問題數學便會死去，故此“啟後”是我們數學家共同的使命。我們最終
目標是用數學為基礎，將整個自然科學，社會科學和工程學融合起來。
自從A.Wiles在1994年解決了Fermat大定理後，很多人都問這有什麼用。大家都覺得
Fermat大定理的証明是劃時代的。它不僅解決了一個長達350年的問題，還使我們對有理
數域上的橢圓曲線有了極深的了解；它是融合兩個數論的主流──自守式和橢圓曲線──
而迸發出來的火花。值得一提的是，近十多年來橢圓曲線在編碼理論中發展迅速，而編碼
理論將會在電腦貿易中大派用場，其潛力無可估計。
最後我們談談物理學家和數學家的差異。總的來說，在物理學的范疇內並沒有永恆的
真理，物理學家不斷努力探索，希望能找出最後大統一的基本定律，從而達到征服大自然
的目的。而在數學的王國裡，每一條定理都可以從公理系統中嚴格推導，故此它是顛撲不
破的真理。數學家以美作為主要評選標準，好的定理使我們從心靈中感受大自然的真與美
，達到“天地與我並生，萬物與我為一”的悠然境界，跟物理學家要征服大自然完全不一
樣。物理學家為了捕捉真理，往往在思維上不斷跳躍，雖說是不嚴格和容易犯錯，但他們
欲能把自然現象看得更透更遠，這是我們十分欽佩的。畢竟數學家要小心奕奕、步步為營
，花時間把所有可能的錯誤都去掉，故此這兩種做法是互為表裡，缺一不可的。
在傳統文化中，我們說立德，但即從不討論如何求真，不求真，則何以立德？我們又
說“溫柔敦厚，詩教也”，但只是含糊的說美，數學兼講真美，是中華民族需要的基本科
學。起，”他說：“數學界為你們二位所做的工作感到驕傲。它表明數學這棵長滿節瘤的老
樹仍然充滿著汁液和生機。你們是怎樣開始的，就怎樣繼續下去吧！”
從一九五八年起，改成每位獲獎者分別由一位數學家介紹。介紹的內容比較地局限於
工作，對於獲獎者個人的情況很少涉及。這個做法，一直延續到最近一次大會。
菲爾茲獎只是一枚金質獎章，與諾貝爾獎金的十萬美元相比真是微不足道。為什麼在
人們心目中，菲爾茲獎的地位竟然與諾貝爾獎金相當？
原因看來很多。菲爾茲獎是由數學界的國際學術團體──國際數學聯盟，從全世界的
第一流數學家中遴選的。就權威性與國際性而言，任何其他的獎勵都無法與之相比。菲爾
茲獎四年才發一次，每次至多四名，因而獲獎機會比諾貝爾獎要少得多。但是主要的原因
應該是：迄今為止的獲獎者用他們的傑出工作，証明了菲爾茲獎不愧為最重要的國際數學
獎。事情就是這樣：從表面上看，一項獎賞為獲獎人帶來了巨大榮譽；而事實上正相反，
正是得獎工作的水準奠定了這項獎勵的學術地位的基礎。
菲爾茲獎首先是一項工作獎（這一點與諾貝爾獎金相同），即授予的原因只能是“已
經做出的成就”，而不能是服務優秀、活動積極等其他原因。但是菲爾茲獎只授予四十歲
以下的數學家（起先是一種默契，後來就成為不成文的規定），因此也帶有一點鼓勵性。
問題在於，如果放在整個數學家的范圍裡，菲爾茲獎的得獎工作地位如何？
我們只舉一個小小的例子。一九七八年，當代著名的老一輩數學家，布爾巴基學派創
始人之一丟東涅發表了一篇題為《論純數學的當前趨勢》的論文，對於近二十年來純數學
各分支的前沿作了全面概述。在文章中，他列舉了十三個目前處於主流的數學分支。其中
十二個分支中的部分重要工作是由菲爾茲獎獲得者作出的。這再清楚不過地說明了菲爾茲
獎獲獎成就的地位。
人們不能不承認，數學對於現實生活的影響正在與日俱增。許多學科都在悄悄地或先
或後地經歷著一場數學化的進程。現在，已經沒有哪個領域能夠抵御得住數學方法的滲透。
數學本身也在一日千裡地發展著。全世界成千上萬的數學工作者正在幾十個分支成百
個專門方向上孜孜研究著。他們每年提出大約二十萬條新定理！重要論文數，如以《數學
評論》的摘要為準，每八至十年翻一番。文獻數量的爆炸再加上方法概念的迅速更新，使
得工作在不同方向上的數學家連交談也有點困難，更不用說非數學專業的人了。
這樣就產生了一個尖銳的矛盾。一方面，公眾非常需要數學，他們渴望理解數學！另
─方面，現代數學過於深刻、龐大、變得越來越不容易接近。
因此，對於數學，特別是現代數學加以普及，使得數學和數學家的工作能對現實生活
產生應有的積極影響，這已成為人們日益重視的課題。
二十一世紀的曙光即將普照全球，要概述一下二十世紀的數學發展決非易事。就純粹
數學而言，我們覺得有兩個主題可以起到提綱挈領的作用：一個是希爾伯特二十三問題的
提出、解決現狀與發展，另一個就是菲爾茲獎的獲獎者及其工作。
作為一種表彰純數學成就的獎勵，菲爾茲獎當然不能體現現代數學的全部內容。就這
個獎本身而言也有種種缺點。但是，無論從哪一方面講，菲爾茲獎的獲得者都可以作為當
代數學家的代表，他們的工作所屬的領域大體上覆蓋了純粹數學主流分支的前沿。這樣，
菲爾茲獎就成了一個窺視現代數學面貌的很好的“窗口”。
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