推 APM99 :你知道什麼是well-defined嗎? 01/01 22:29
推 czk0622 :據說沒有well-define啥都別談了 01/01 23:28
推 a88241050 :你一定沒有用過yahoo奇摩字典 01/01 23:33
→ WINDHEAD :比方說妳有一個函數 f: Q->Q , f(a/b)=a+b 01/01 23:49
→ WINDHEAD :就不是 well-defined 01/01 23:49
推 cacud :if x=y, then f(x)=f(y) ? 01/02 01:10
推 APM99 :簡單講就是不能一對多 01/02 11:49
推 bineapple :同樣的前提下不能產生兩種互相矛盾的結果 01/02 11:56
推 gogoivan :函數的定義不能因為自變數表示法的不同而得到不同的 01/02 13:28
→ gogoivan :函數值,就像四樓講的一樣 01/02 13:28
這問題很基本，但通常講得很模糊。
推文提到了「表示法」已經很接近了，當我們寫 a/b 其實意指
所有與 a/b 相等的有理數，而不僅是 (a, b) 的一個數對，
習慣上用 a/b 代表 [(a,b)] = {(p, q) \in Z x (Z - {0}) | qa = pb}
而 a/b 是這個有理數的其中一個表示法。
因此底下這函數
f( a / b ) = a + b
並不是一個定義在有理數的函數，而是定義在 Z x (Z - {0}) 上的函數，
若我們要將此一函數看作有理數的函數，必須要檢驗 f 是否將 [a/b] 對應到同一個元素
這步就是 well-definedness 證明在做的事情，檢驗所有等價類內元素，
是否都對應到同個元素。也就是說，給定在 X 上的等價關係 ~ , 以及 f : X --> Y
證明「若 a ~ b, 則 f(a) = f(b)」。若這件事情成立，
自然可以把 f 看作是定義在 X/~ 上的函數。
若要嚴格區分的話，其實應該區分定義在 X/~ 跟 X 上的函數，但習慣上用同一個符號。
（底下可忽略）
用箭頭語言來看，令 q 為 X 到 X/~ 的 canonical projection, 也就是 q(x) = [x]
以及 \pi_1, \pi_2 : ~ --> X 將 (x, y) \in ~ 分別投影到 x 跟 y, 則
q 是 \pi_1, \pi_2 的 coequaliser。
證明 well-defindness 就是檢驗 f . \pi_1 = f . \pi_2 這件事情，
把 f : X --> Y 看作 X/~ 上的函數，是把 mediating morphism f' : X/~ --> Y 跟 f
混在一起。
--
我不認為「定義一個函數 f ，再證明他是 well-defined」這件事情是邏輯正確的，
要嘛我們先定義一個 relation 再證明 functional,
要嘛說我們定義的函數定義域是 X 而不是 X/~。
（這篇其實是抱怨數學內打迷糊仗）
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 78.109.182.40
推 calvin4 :x大最近好文連發。感謝您的貢獻！ 01/04 03:58