※ 引述《cosmo2256 (號暱稱)》之銘言：
: 先回應第二點
: 如果說定義成這樣 我是完全同意的 所以我一開始就問
: 除了只是給他們位置一個名稱以外 還有什麼意義呢?
: 小學生要慢慢教 所以當然可以先給簡單的概念
: 但是 假如他答了一個也是對的答案 卻不能因為他沒學過
: 所以就說他錯吧? 什麼意思呢? 就回到第一點
: 您說乘數與被乘數 除了位置的意義之外 還有以上的觀念的意義
: 可是我覺得 上面的觀念沒有錯 但是 比較狹隘
: 什麼意思呢?
: 先說純數字的運算吧 3X2表示3連+兩次 2X3 表示2連+3次
: 前面是要被加的(被乘數) 後面是要加幾次(乘數..也就是大家說的倍數)
: 位什麼說他狹隘呢? 因為 我們終究會發現 2X3=3X2=6
: 奇怪....意義上不同的東西 為什麼答案一樣? 是巧合嗎??
: 那麼....4X5...ㄟ 又等於5X4 8X13 又等於13X8 這....也未免太巧了吧
: 我小的時候 很久一段時間(一直到大學吧 我想) 一直認為這是天大的巧合
: 太奇妙了.... 然而一般人都把它歸於乘法的交換律
: 後來我才明白 這交換律 實在是源自於 他們的本質是一樣的不是嗎??
: 也就是說 誰是倍數(乘數) 誰是被作用的數(被乘數)
: 要視我們主觀怎麼看待它而定 然而其本質不因此改變
: 6是合數 他的因數就是2.3 2.3是6的元素 不論誰放在前面 都一樣
: 所以 6個東西 兩個一數數三次 三個一數數兩次 不是巧合
: 是因為本質一樣 怎麼去數他(相對造成數幾次) 是人的主觀價值
: 與6無關(假如小學老師有這樣提過 我想我就不會疑惑這麼多年了)
: 純數字是這樣 那實際生活運用上呢?
: 假設一間教室裏有n個袋子 袋子裡都裝有x個球
: 一個學生要來數數看總共有幾個球
: 怎麼數呢? 一位學生說 我們先看看一個袋子有幾顆球 x個/袋
: 在數數看有幾個袋子 n袋 於是他得到 :
: x個/袋 × n袋 = x*n個球 (n作用於x之上)
: 另一個學生說 我們也可以數一數有幾個袋子 n袋
: 然後看看每一袋可以拿出幾次球 也就是每袋球的個數 x個/袋
: 於是他得到 :
: n袋 × x個/袋 = n*x個球 (x作用於n上)
: 其結果也是一樣
: 所以我們發現 誰要當乘數 誰是被乘數 取決於我們的主觀想法
: 但是他的本質意義是一樣的
: 所以 一開始我們以為誰作用在誰上面很重要
: 但是後來發現那不過是個人思考的主觀想法 那麼這個狹隘的想法
: 雖然有意義 但是直得一直被傳承嗎?
: 又 若當有人寫出較廣義的想法 (例如3X2寫成2X3的例子)
: 怎麼能夠說他是錯的呢??
: 這就好像 雞蛋在地上 跟 地球在雞蛋上 是一樣的
: 我們不能因為學生寫地球在雞蛋上 就給他錯吧?
: PS
: 另外有很多人在什麼名數上做文章 說要求的單位必須要擺在被乘數
: 由上述例子中可發現 乘數 被乘數 積 三者單位通通不一樣
: 位單位也必須被相乘 所以我不知道位什麼會有那樣的論述
: 以上是我個人的淺見 :)
呵呵 我承認 你完全講到重點了
所以 給你 鼓鼓 掌
這個問題 最大的關鍵 就是 你提到的「為什麼乘法 交換兩個數的位置 答案還是一樣」
最大的關鍵 就是上面這個問題 在本質上 為什麼會一樣
但是「被乘數與乘數的意義仍然不是狹隘的」
為什麼呢?
我換一個例子講好了
(當然 n個有x球的袋子依然可以解釋 但似然不是個初步表達意義 很適當的例子)
我們來看 一堆球 排成一個長方形 總共有 2橫列 * 3直行 總共有幾顆球 的例子
(呵呵 乘法的本質 還是可以回歸到面積 )
(三) 為什麼乘法 交換兩個數的位置 答案還是一樣
(觀點或許不是很高明，但是我假設我們的對像是小朋友)
要算有幾顆球，有兩種觀點
(a) 橫列的觀點：
每一列有3個球，總共有2列
以加法來看 總共有 3 + 3 = 6
對應的乘法是 3*2 = 6
此時 前者 3 是被乘數 後者是 乘數(也就是倍數)
(b) 直行的觀點：
每一行有2個球，總共有3行
以加法來看，總共有 2+2+2=6
對應的乘法是 2*3 = 6
此時 前者 2 是被乘數 後者是 乘數(也就是倍數)
(c) 所以 以這一堆排成長方形的球來看，我們可以看成
2堆 3個球 或是 3堆 2個球
不管是那一種看法 都是在算同一堆球
所以這兩種算法的答案是一樣的
(d) 所以 如果 以後 看到 5*3
我們可以想像成 有 3堆5個球 (後面是倍數)
可是由前面我們知道 3堆5個球 以排成長方形的想像來看
也可以 看成 5堆3個球 也就是 3*5
所以 5*3 = 3*5
(此時，如果再配合 黑版上的圖形 ，
我想小朋友的求知慾 應該有被滿足到的感覺了)
(e) 所以 乘法 交換兩個數的位置 答案仍然是一樣的
(四) 但是 被乘數 跟 乘數 的意義 仍然不是 狹隘的
(a) 在上面的例子裡
如果寫成 3*2 此時前者是 被乘數 後者是 乘數(倍數)
強調的意義是 2堆 3個球
如果寫成 2*3 此時仍然 前者是 被乘數 後者是 乘數(倍數)
強調的意義是 3堆 2個球
所以 被乘數 與 乘數 的 意義 並不狹隘
既然定義了 當然 每個式子 都一定可以這樣看
(b)
這樣的強調 更 可以 突顯 3*2 跟 2*3 是不同意義的乘法
這樣 再從 長方形的 觀點 來看 他們答案是一樣的
也更突顯了 不同意義的乘法(交換位置) 答案竟然會一樣的 神奇
2*3 = 3*2 也不只是因為 老師告訴了我們 交換了 答案也會一樣
(當然 我是從面積的觀點，一下想不到其它的觀點)
(五) 最後，我想強調
被乘數 跟 乘數 有他意義上的重要性
乘數 代表 連加的次數
這對初學 乘法 的小朋友來說 很有意義
如果有比較聰明的小朋友 或許 可以花 更多的時間 來跟他解釋
當然 我承認 解釋上 不見得容易 可能要看 那個小朋友
(還有 這位解釋的老師 本身觀念上 要清楚，這是另一個重點)
但是 被乘數 跟乘數 有他意義上的重要性
定義上 不會有 矛盾
也並不狹隘
(六) 再補充一點好了
我覺得 強調 前者是 被乘數 後者是 乘數 是為了小學生方便理解
但是 真的理解了以後 就如我上面所說的 要反者定義 也沒什麼關係
所以 到了 國中 以後 就沒人 強調這個了(也沒人會因為寫反了 被扣分)
但是 如果 在小學的教材 裡 拿掉這個東西
我個人覺得 是 非常的可惜的
至少我個人在幾十年前 學到這個觀念的時候 覺得非常有趣
當然 這是 個人觀點
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