推 TaiBeiGuo :推一個 06/19 15:42
※ 引述《floaters (戀心)》之銘言：
: 1 0 e^xy
: 求積分 (1) ∫∫ y dx dy
: -1 -1
: π/2
: (2) ∫ ln(sinx) dx
: 0
: 想了一個早上還是無解，希望有人幫我提點一下 謝謝~
好像蠻複雜
π/2
∫ ln(sinx) dx
0
令 x=π/2 -t dx=-dt
π/2 0
∫ ln(sinx) dx = ∫ ln sin(π/2 -t) -dt
0 π/2
π/2
= ∫ ln cost dt = A
0
π/2 π/2
2A = ∫ ln(sinx) dx + ∫ ln (cosx) dx
0 0
π/2
= ∫ ln [ (1/2)*sin2x] dx
0
π/2 π/2
= ∫ ln sin2x dx -∫ ln2 dx
0 0
π/2
= ∫ ln sin2x dx - (π/2) ln2
0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這邊比較難搞
=A
原式＝ - (π/2) ln2
注: =A
π/2
=> ∫ ln sin2x dx
0
令y=2x dy=2dx
π
= ∫ (ln siny) (1/2) dy
0
π
=(1/2) ∫ (ln siny) dy
0
π/2 π
=(1/2) * [∫ (ln siny) dy +∫ (ln siny) dy]
0 π/2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
y=π/2+u
π/2 π/2
=(1/2) * [∫ (ln siny) dy +∫ (ln sin(u+π/2)) du]
0 0
π/2 π/2
=(1/2) * [∫ (ln siny) dy + ∫ (ln cosu) du ]
0 0
=(1/2) *2A =A
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