Re: [微積] 一題積分..

[LuisSantos (^______^)]

※ 引述《ihha (王建民!!!)》之銘言：
:    請問一題積分證明
:     証:
:         積  e^(-x^2) 從負無限大到無限大 = 根號 pi
:     謝謝大家^^||||

        ∞                 ∞
證明: ∫   e^(-x^2) dx = 2∫ e^(-x^2) dx
       -∞                 0

               ∞               ∞
       令 I = ∫ e^(-x^2) dx = ∫ e^(-y^2) dy
               0                0

                 ∞             ∞
       則 I^2 = ∫ e^(-x^2) dx ∫ e^(-y^2) dy
                 0              0

                 ∞ ∞
              = ∫ ∫ e^(-(x^2 + y^2)) dxdy
                 0  0


       令 x = rcosΘ , y = rsinΘ   則 |J| = r

                   ∞ ∞
       所以 I^2 = ∫ ∫ e^(-(x^2 + y^2)) dxdy
                   0  0

                   ∞ π/2
                = ∫ ∫    r*e^(-r^2) dΘdr
                   0  0

                    π   ∞
                = (---)*∫ r*e^(-r^2) dr
                    2    0

                    π      1           |∞    π
                = (---)*(- ---e^(-r^2)) |   = ---
                    2       2           |0     4

                  ∞               π^(1/2)
        因此 I = ∫ e^(-x^2) dx = ----------
                  0                   2

               ∞                      ∞
        所以 ∫   e^(-x^2) dx = 2I = 2∫ e^(-x^2) dx = π^(1/2)
              -∞                      0

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◆ From: 61.66.173.21
推 gary27:收到微積分.^^!這題太多人問了
推 ihha:謝謝 大感謝*^___^*
推 microball:這題解答要不要放在進版畫面好了XDXD
推 rath:放進版好了
推 ledia:還是放置底? Orz
推 gary27:XDDDDDDDDDDD我不敢亂搞啊..我也想啊...
推 ihha:歹勢 感覺我好像來鬧場的> <".....
→ gary27:不會啦...這個問題也該要有人寫答案了...^.^!
→ yhliu:這不是一般大一微積分教本都有的例題?
→ yhliu:教本上做的應該更嚴謹! 不只是這隸套公式!
推 ian60702:大推~~~