[分析] 在一次努力的分析...

[ntust661 (Crm~)]

請大家用愉快的心情來看這篇吧 ^^"


這是我突然想出來的


當做點心品嚐看看吧!


(若有疑問或者錯誤務必告知我喔!)
                                                           f(x)
                                           y               ▄
                                           │            ██
                                           │          ███
                                           │        ████
                                           │      █████
假設!                                      │    ██████
                                           │▂███████
                                           ┼─────────
有一個階梯函數(step function) f(x)                               x


則我要從[a,b]區間內"積分"此函數


已知 [a,b] 內 f(x) > 0


但是這些條件還不足以讓我寫出關係式


先容許我定義一個階梯函數 ---「 最小整數函數 」



Notation

           ┌ ┐
             x


此函數性質是自動進小數點到整數位

        ┌   ┐
ex:       3.1   = 4

        ┌ ┐
          3     = 3


(其實與 高斯階梯函數 相反啦!)



再來我定義我要定義一種階梯的"微分"



Definition


                    f(x+1) - f(x)
          D(f(x)) = ───────
                    ┌   ┐ ┌ ┐
                      x+1  -  x

我把它稱為"階梯微分"(亂取的名字，但是不重要)


原因是因為階梯函數的特性是很整齊的分割成 寬 = 1 的函數


所以他的導數(瞬間變化率)在我推導過程沒有用( 不是 0 就是 ∞ )


我要利用上面我定義的階梯微分來定義高度的變化量 ( dy )



        dy ┼ ------
           ┼ ----  ████
       │         █████
       │         █████
       │     ▄██████
       │     ███████
       │ ▁████████
   ──┼──────────




所以，有以上兩個定義，我可以開始推導階梯函數的積分


開始!


(認知1:我知道"階梯函數的積分"其實就是長方形的面積"加總")


轉換級數形式

    b            b
    ∫f(x) dx = Σ   f(k)
    a           k=a+1


Q:為何級數下標要多加 1 呢?


A:級數跟積分差別最大的就是有沒有算入下標


ex:



1.
      3
     Σ  k  = 1 + 2 + 3
    k = 1


            = 6



               ┌ ┐
2.   設 f(x) =   x



               -
   3-         1          2-         3-
   ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx + ∫f(x)dx
   0          0          1+         2+


           =     1     +  2 ×1  +   3 ×1


           =    6




好!繼續展開


 令  b-a = n 為積分區域長度


      b
     Σ   f(k) = y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ... + yn
     k=a+1
                 ╰──────────────╯

                              n + 1 項



其中

           y0 = f(x)


           y1 = f(x + 1)


           y2 = f(x + 2)


           y3 = f(x + 3)


           ...類推




在利用我之前所定義的"階梯微分"再次展開此級數



                f(x+1) - f(x)
       f'(x) =  ───────
                      1



   ∴ f(x+1) = f(x) + f'(x) ×1




=  y0  +   y1   +   y2   +   y3  +   y4   +  ... +   yn



= f(x) + f(x+1) + f(x+2) + f(x+3) + f(x+4) + ... + f(x+n)



(利用階梯微分拆掉 +1 , +2 , +3 等等的數字)



=   f(x)    +   ( f(x) + f'(x) )   +   ( f(x+1) + f'(x+1) )   + ...




( f'(x+1) = f'(x) + f''(x)  ) (微分階數可依此類推)


再整理一次


=  f(x)  +  ( f(x) + f'(x) )  +  [  ( f(x) + f'(x) )  + ( f'(x) + f''(x) ) ]  +


    ↑            ↑                      ↑                    ↑

  f(x)         f(x+1)                   f(x+1)        +       f'(x+1)

                                  ╰───────────────────╯

                                                     ↓

                                                   f(x+2)



呼呼~好累~終於快結束了^^"



必要認知:

          似乎展開有什麼玄機


          原來是巴斯卡三角形 ! (有注意到嗎?)



                      階數                        係數

                      f(x)                          1
                      ↙↘
                   f(x) f'(x)                    1     1
                    ↙↘ ↙↘
                 f(x) f'(x) f''(x)            1     2     1
                  ↙↘ ↙↘ ↙↘
             f(x)  f'(x) f''(x) f'''(x)    1    3      3     1






 f(x) × ( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 )



 f'(x) × ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... )



 f''(x) × ( 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + ...  )



 f'''(x) × ( 1 + 4 + 10 + 20 + 35 + 56 + ... )


  [4]
 f   (x) × ( 1 + 5 + 15 + 35 + 70 +...  )



 ...以此類推




 這結論很可怕



   b                      n (n+1)            n (n+1) (n-1)
  Σ  f(k) = (n+1) f(x) + ──── f'(x) +  ────────f''(x) + ....
 k=a+1                       2!                    3!




( a 到最後會等於 x，我只是方便寫成 x 而已 )

(導函數部份通通都是"階梯微分"，跟一般的微分不一樣)



∴


 b                       n(n+1)         n(n+1)(n-1)         n(n+1)(n-1)(n-2)
∫f(x)dx = (n+1) f(x) + ────f'(x) + ───── f''(x) + ────────...
 a                         2!               3!                    4!


            n(n-1)(n+1)(n-2)(n-3)
  f'''(x) + ──────────
                    5!


==============================================================================



特殊值 : 當 a 從 0 開始積分 積到 n


                n(n+1)          n(n+1)(n-1)
= (n+1) f(0) + ──── f'(0) + ────── f''(0) + ...
                 2!                3!




Ex :
       15
        ┌ ┐
      ∫  x  dx = ?
       0


      n = 15 - 0 = 15


      代入公式，又可以知道，此公式只存在 f'(0) = 1 (階梯微分)


      n(n+1)
     ──── 直接代入即可
        2!




= = = = = =

後記 :



雖然這篇或許對於各位意義不大，大家只要以輕鬆的心情看待即可


我不指望會拿到多高的評價，我相信這不是最好的辦法(我代入高於三次方的就難做了...)


這是我偶然發現利用泰勒級數積分的方法推導的


或許以前就有人這樣導出來了


不管如何，還是 po 出來給大家分享 ^^"



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 218.165.108.166
推 harry901:這才是有研究的精神  繼續加油
推 aaaaasuede:原po可以投數學頂尖期刊了
→ ntust661:這篇你們會有疑問嗎@.@?
→ k6416337:有1.你裡面有說a跟b是整數嗎?2.階梯函數一定切成等寬?
→ e0101010:這個叫作celling function 一般的高斯就是floor function
→ e0101010:後面的微分展開可以查看看差分方程 那邊是否做過相關討論
→ e0101010:還有就是是不是先問說 高斯函數如果可積那你定義的直接套
→ e0101010:用高斯函數改變一些地方跟範圍也就可直接套用
推 ElvinN:精神可嘉!!研究魂
推 harry901:五樓  你怎麼可以把答案說出來....
→ ntust661:ceil function ~ 吧@"@ 我只是偶然發現po出來而已
→ ntust661:沒有更深入的研究...
→ ntust661:我還在尋找任何樣子的級數皆可用項數就可以算總和的方法
→ ntust661:給k6416337:不行，因為項數我已經定成正整數了。
→ ntust661:2.一定是切成等寬(在我定義內)
推 harry901:原po  你把自己研究的東西上網利用天花板函數查詢  看看
→ harry901:有沒有人做過類似的  然後把這些東西加一些'詳細說明
→ harry901:再丟到國內一些普通期刊  例如:數學傳播
→ math1209:我不是很想潑冷水, 可是這都是 well-known 的東西.
→ math1209:在 19 世紀都已經知道的東西了 = =
推 math1209:前者關於積分部分, 叫 Riemann-Stieltjes 積分. 後者稱
→ math1209:為差分. 我們的確可以對古典微分做推廣, 但那是建立在
→ math1209:所謂的弱微分, 或者 XX 微分等.
→ math1209:套用我認識強者的話，要研究之前，最好知道前人做過些什
→ math1209:麼，不然做出來的東西，意義就不會那麼大了。
→ ntust661:恩!感謝大大的建議!
推 cation:           ┌ ┐
→ cation:符號的建議 x = -[-x]
→ cation:唉啊 沒對好
→ ntust661:樓上這是XD..?
推 cation:我是想說你定義的階梯函數就是 -[-x]
→ ntust661:其實ceiling function 與 floor function
→ ntust661:互換關係: ┌x┐= [x] + 1 ( x ~= Z )