※ 引述《iamagine (A-gine)》之銘言：
: 請問：
: ∞
: f(x)= Σ _sin(nx)_ (sin(nx)除以n^3)
: n=1 n^3
: 証明 f(x) 可微，所有的 x 屬於 |R
: 麻煩板上的大大了>""<
: 謝謝大家~
: ---
: 根據大大的提示，我重看了課本
: 不曉得這樣寫對不對，麻煩大大們幫我看>""<
: 謝謝大大
: ---
: [Pf]:
: Let fn(x)= _sin(nx)_
: n^3
: fn'(x)= _cos(nx)_ 所有x屬於|R exist .
: n^2
: ∞
: ∵ 0 屬於 |R and Σfn(0) converges.
: n=1
: ∞ ∞
: Let g(x)= Σ fn'(x) = Σ_cos(nx)_ converges uniformly.
: n^2
: ∴ Then x屬於 |R ,the derivative f'(x) exists
: ∞ ∞
: and f'(x)= Σ fn'(x) = Σ_cos(nx)_
: n^2 ＃
定理：
假設 g_n:A->|R 對所有的正整數n在A上可微，其中A是被包含在|R的開集合。
∞ ∞
若f(x)=Σ(g_n)(x)點收斂(固定一個x，f(x)會是收斂數列)，而且g(x)=Σ(g_n)'(x)
n=1 n=1
均勻收斂，則 f在A上可微且f'(x)=g(x).(也就是說，可以逐項微分)
所以你不需要討論x=0的情況
你的fn在|R上都可微，Σfn與Σfn'在|R上都是均勻收斂，這點可以由
Weierstrass M test得知
既然是均勻收斂，當然是點收斂
所以由上面定理可以知道，f當然可微，f'就是逐項微分再加起來
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http://0rz.tw/b42r6
禮奈：你看到了吧？
K1：沒...沒有啊，我什麼都不知道，哈哈(抓頭
禮奈：是這樣啊~
禮奈：http://0rz.tw/ef2uo
蟬：唧唧唧唧唧唧唧唧唧唧......
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◆ From: 202.132.188.137