[分析] 變分學的簡易入門

[herstein (支持棒球！！！！！！！)]

變分學講白一點就是在Banach空間上的微積分學.雖然叫變分,他實際上是

一些泛函(functional)的微分.微分的概念只有在Banach空間上才可以被定義.

而流形(manifold)上的微分結構也是仰賴於至Banach空間的local chart.

這些術語,對初學者而言看似有點困難,但所謂的Banach空間只的就是可以定義

距離的向量空間,並且所有的柯西列均是收斂的,也就是在這個空間裡,可以找到極限.

畢竟微分這樣的概念是定義在局部集合(某一點的鄰域)上. 而微分也是仰賴於

距離結構.(距離結構才是決定鄰域,也就是空間的拓墣結構的主要因素).

定義:

假定X是一個Banach空間,X*是有所的有界線性泛函(bounded linear functional

)所形成的Banach空間.如果F:X->R是一個映射,x_0是X的一個點,我們稱映射F

是可微分的若且為若,存在一個T屬於X*,使得,對任意不為0的向量h,

                |F(x_0+h)-F(x_0)-T(h)| = o(|h|)

我們記T =D_(x_0)F,稱為F的一次微分或一階變分.

舉個例子來說:X =C[0,1], |f| =max |f(x)| x\in [0,1]
                      1
              F(f) = S f^2 dx
                     0
                     1
F(f + h) - F(f) = 2 S  fh dx + F(h)
            1       0
令T(h) = 2 S fhdx
           0

則

|F(f+h)-F(f)-T(h)| ≦  |h|^2 = o(|h|).

例二.如果q是定義在某個完備的函數空間的函數。考慮極值
                    .
     F[q] =∫ L(x,q,q)dx,

用不是很嚴謹的方法討論可以得到下列計算：
                               . .          .
則  F[q+h] -F[q] = ∫ [L(x,q+h,q+h) - L(x,q,q)]dx
                       δL      δL
                 = ∫ [---- h + ---- h'+ o(|h|)]dx
                       δq      δq'
利用integration by parts,可知
                      δL                δL     d   δL
     F[q+h] -F[q] = h-----|邊界值  + ∫ [---- - --- ----]h dx + o(|h|)
                      δq'               δq     dx  δq'
那麼定義
                δL     d   δL
     T[h] = ∫ [---- - --- ----]h dx
                δq     dx  δq'

就可以發現T是F的一次微分，有時我們也會記T=δF。

回想一個微積分的定義，我們說p是函數f的一個critical point如果 f'(p) = 0。

同樣道理:如果q是此函數空間的點滿足T[h] = 0 對任意給定的h均成立，

我們發現q是下列微分方程的解：
           δL     d   δL
           ---- - --- ----  = 0
           δq     dx  δq'
此方程我們稱為泛函F的Euler Lagange equation，

所以Euler Lagrange equation的解便是原本泛函的critical point。
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※ 編輯: herstein        來自: 140.114.34.57        (07/18 13:26)
推 Linderman:讚!!超推!!!!用分析Banach space來講解變分學才是王道^^
推 Linderman:h大真有耐心打數學符號且解說詳盡完,再用力推!!!!!!!!!
推 Linderman:忘了請herstein大推薦給我們一本真正變分學原文書的好書
→ Linderman:我以前圖書館看有一本原文書是變分學的歷史從17-19世紀
→ Linderman:忘了問,我記得Legendre有研究二次變分的問題,有書嗎?
推 Linderman:以前很少看這裡文章,剛爬文,h大文章有水準真的很厲害^^
推 satipatthana:推h大