Re: [分析] distribution function

[jost (袖斯特)]

※ 引述《JASS0213 (黑暗王道)》之銘言：
: ※ 引述《jost (袖斯特)》之銘言：
: : 請教一題：Zygmund/integral and measure p86 #17
: : If f≧0 and w(α)≦c(1+α)^{-p} for all α>0, show
: : that f in L^{r}, 0<r<p. w(α):=|{x:f(x)>α}|
: : ||代表測度。
: 不太會打數學符號，莫怪。
:               infinite
: 積分|f|^r = r 積分 t^(r-1)w(t) dt
: domain         0
: 所以証右邊有限就好。
: 又0<r<p，右式可積。
: 我沒寫的是高微程度的論證。

Thanks :)
I have finished the detail of the proof.
                           ∞
It suffices to prove that ∫ α^{r-1}w(α)dα exists and is finite.
                           0

Indeed, let [a,b] be any compact subinterval in (0,∞).

 b                    b
∫ α^{r-1}w(α)dα≦∫ cα^{r-1}/(1+α)^p dα
 a                    a

                        b
                    ≦ ∫c(1+α)^{r-1}/(1+α)^p dα
                        a
                        b
                     = ∫ c(1+α)^{r-1-p} dα
                        a

                     = c/(r-p)*((1+b)^{r-p}-(1+a)^{r-p})

                   ∞
Take b→∞,a→0+, ∫ α^{r-1}w(α)dα≦ c/(p-r) < ∞
                   0
                    ∞
Hence     ∫f^r = r∫α^{r-1}w(α)dα < ∞
           E        0


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 123.0.194.169
推 JASS0213:寫成暇積分有點不好，最好寫成乘上charactrist的樣子
→ JASS0213:雖然這題兩者是一樣的