Re: [分析] Banach space

[chunchang (屬於我的詩)]

※ 引述《Jer1983 (stanley)》之銘言：
: Let C[a,b] be the collection of real-valued continuous functions.
: Suppose f,f_1,f_2... in C[a,b] and define the inner product
: (f,g) = ∫_a^b f(x)*g(x) dx and associated norm ||f|| = (f,f)^(1/2)
: 要怎麼證明 (C[a,b], ||f||) 不是 Banach space ?
: 謝謝

感謝 herstein 大的提醒！

如果你從：若連續函數序列 fn(x) 均勻收斂到 f(x)，則 f(x) 亦為連續函數

來想！那你可以從『不均勻收斂』的連續函數序列來思考。

例如：        / x^n, x in [0,1), n= 1,2,...
       fn(x)= |
              \ 1, x in [1,2],


              / 0, if x in [0,1),
         f(x)=|
              \ 1, if x in [1,2],

then fn in C[0,2], f is not in C[0,2],

and fn(x)→ f(x) pt.w. in [0,2],

這是一個逐點收斂非均勻收斂的例子。

則 ||fn - f||^2

=∫_0^1 x^(2n)dx

= 1 / (2n+1) → 0 as n→∞.

這說明了 fn→ f in the norm || ||，但是 f 不在 C[0,2] 中，所以

(C[0,2],||．||) 不是 Banach space

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 71.63.157.14
推 herstein:要小心.這個例子恐怕不太行...因為f_n -> 0 in L^2[0,1]
→ herstein:0也是C[0,1]中的函數...
→ chunchang:感謝您的指正，我作些更正^^
※ 編輯: chunchang       來自: 71.63.157.14         (01/05 07:28)
推 herstein:so f_n in C[0,2], f is not in C[0,2]小心小心^_^
→ chunchang:感謝指正^^
※ 編輯: chunchang       來自: 71.63.157.14         (01/05 09:12)