Re: [分析] 高微(7)

[iddee (好痛哥哥)]

※ 引述《PttFund (批踢踢基金只進不出)》之銘言：
: Let f be a positive continuous function defined on [a,b].
: Let M be the maximum of f on [a,b].  Show that
:            b
:         ( ∫ f(x)^n dx )^(1/n) → M as n → ∞.
:            a

            b
令 A(n) = (∫ f(x)^n dx )^(1/n) => A(n) ≦ M(b-a)^(1/n)
            a
故 limsup A(n) ≦ M

取一點 c 使得 f(c)=M, 連續性 => 對任意正數 e 而言都存在 d = d(e) > 0
足夠小使得 |f(x)-f(c)|< e whenever 0<|x-c|<d.
令開區間 (p, q) = { x : |x-c|<d and x in [a,b]}

             q
故 A(n) ≧ (∫ f(x)^n dx )^(1/n) > (M-e)(q-p)^(1/n)
             p

因此 liminf A(n) > M-e => liminf A(n) ≧ M

M ≦ liminf A(n) ≦ limsup A(n) ≦ M

故 liminf A(n) = M = limsup A(n) => lim A(n) = M



--

    總是去意識著別人的評價，這樣的生活方式、生活態度不是我所要的。

    我想要過的是---自己所能接受、自己可以認同的生活方式..

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.219.178.217
→ iddee:政大考過 2 次 QQ
推 PttFund:Yes