※ 引述《TaiwanBank (澳仔金控台灣分行)》之銘言：
: 設 f(x) 為定義在 [a,b] 上之實值函數, f 恆正且黎曼可積.
: 請證明 f 在 [a,b] 上之黎曼積分值恆正.
b b
零函數可積且 f(x) ≧ 0 for all x in [a,b], 故 ∫f(x) dx ≧ ∫0 dx = 0 (*)
a a
Claim : 存在一點 c in [a,b] 使得 f 在 c 連續
設否, 則 f 在 [a,b] 上處處不連續, 即使得 f 在其上不連續的所有點所構成的集合
非零測度 => f 在 [a,b] 上不可黎曼積分 (=><=)
依照連續定義 => for postive number f(c)/2, there exists δ>0 s.t.
|x-c|<δ (x in [a,b]) => f(c)/2 < f(x)
設 I = {x : x in [a,b] and |x-c|≦δ} => I 是 [a,b] 的一個子區間, 設其長度是 L
因為 f 在 [a,b] 上可黎曼積分 => f 在 I 上可黎曼積分, 則將原積分分段根據 (*)
b
有 ∫f(x) dx ≧ ∫_I f(x) dx + 0 > (f(c)/2) L > 0
a
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