Re: [分析] Isolated points

[LuisSantos (^______^)]

※ 引述《hips ()》之銘言：
: 若 S 包含於 R^n
: 證明 S 的 isolated point 所成的集合是可數的.
: 請各位不吝賜教.

  設 x 為 S 中任意 isolated point ,則存在 δ(x) > 0 使

  B( x ; δ(x) )∩S = {x}

  令 x = ( x_1 , ... , x_n ) , 取 x' = ( x'_1 , x'_2 , ... , x'_n ) 使

  | x_i - x'_i | < (((δ(x))^2)/n)^(1/2) , 且 x'_i 為有理數

                         n                     n
  因為 || x - x' ||^2 = Σ | x_i - x'_i |^2 < Σ ((δ(x))^2)/n = (δ(x))^2
                        k=1                   k=1

  所以 x' 屬於 B( x ; δ(x) )

  設 S 中之 isolated point x 與如此取出之 x' 對應則此對應為一對一

  因為 x_1≠x_2 , x_1 與 x_2 為 isolated points

  => B( x_1 ; δ(x_1) )∩S = { x_1 } , B( x_2 ; δ(x_2) )∩S = { x_2 }

  => x'_1 不屬於 B( x_2 ; δ(x_2) ) , x'_2 不屬於 B( x_1 ; δ(x_1) )

  => x'_1≠x'_2

  因為有理坐標之點在 R^n 中為可數 , 所以 S 的 isolated point 所成的集合是可數的

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◆ From: 61.66.173.21
推 hips:嗯恩 謝啦.