推 vata:這樣子感覺沒有利用到題目所給的定義去證明 219.91.9.223 07/04
推 yonex:不然那個二項式展開怎麼來的...由定義來的呀140.112.253.159 07/04
→ eggsu :那個展開式好像不是二項式展開的結果 04/16 18:04
→ eggsu :而是泰勒展開式的結果……真是太久沒有看這些東西 04/16 18:05
→ eggsu :講得有點心虛……有錯還請指正！ 04/16 18:05
※ 引述《plover (>//////<)》之銘言：
: 請利用 lim (1+1/n)^n = e, 證明 e 為無理數.
: n->∞
使用歸謬証法
假設e為有理數 e可以表達如下
p
e = --- p and q are integer
q
首先 我們已知 2<e<3 (由二項式展開可輕易得証)
因此e絕對不會是整數
q必定至少等於2 依照e的定義二項式展開
p 1 1 1
e=--- = 1+ ---- + ----+ .....+ ----- +.......
q 1! 2! n!
將上式兩邊同乘q!= 2x3x4x5......xq
exq!=px2x3x4x5x......x(q-1)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^此數明顯為整數
1 1
=(q!+q!+ 3x4x....xq + 4x5x.....xq + (q-1)q + q +1)+-----+---------+.....
q+1 (q+1)(q+2)
^^^^^^^^^^^^^^^^
分析這"餘項"
以上式的餘項來說 因為q>=2
1 1 1 1 1 1 1
----- + ---------- + ........=< --- + ----- +... =< ---+-----+-----...
q+1 (q+1)(q+2) 3 3x4 3 3^2 3^3
1
= ---
2
此餘項介於0跟0.5之間 必為小數
推導出 整數 等於 非整數 的荒謬結果
所以e為可比之數假設錯誤
e為無理數
Q.E.D.
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