Re: [分析] 極限

[fresca (coke)]

※ 引述《hips (hips)》之銘言：
: Does
:           1
: lim  1/n ∫log(1+ exp(nf(x))) dx
: n->∞     0
: exist for every real f in L^1 ?
: If so, what is the limit ?
分兩塊來看 A={f<=0}, B={f>0}
在A上,0<log(1+ exp(nf(x)))<log 2,故積分為0
在B上,令g_n(x)= log(1+ exp(nf(x)))/n -f(x)=[ log(1+e^(-nf(x)))] /n ->0
再用Dominated  Convergence Theorem.

結論:  lim  1/n ∫log(1+ exp(nf(x))) dx = ∫  f(x) dx
      n->∞                               {f>0}

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.114.81.203
推 hips:謝~