Re: [分析] 數學危機

[plover (>//////<)]

※ 引述《nicewine (櫻木花道)》之銘言：
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: 分析學的算術化
: 建立在實數算數的無矛盾性上
: 微積分的理論基礎問題
: 直到19世紀20年代才由法國科學家柯西解決
: 他定義了變量 函數 極限 無窮小 無窮大
: 無理數 連續性 導數 積分等概念
: 然而他是用 要多小就多小  無限接近 之類的幾何或直觀自然語言
: 德國數學家 Weierstrass 則給出了Delta Epsilon系統

Cauchy 利用不等式來把極限的概念發展至一個較為嚴謹的程度,
即所謂極限概念的「算術化」, 他說：

    「如果 {x_1, x_2, ..., x_n, ...} 無限制的靠近 L,
      則 L 稱為數列 {x_1, x_2, ..., x_n, ...} 的極限,
      寫作 lim x_n = L. 」

而 Weierstrass 在 1859 年把 Cauchy 所有有關極限的定義重新加以敘述,
給定無窮極限的定義：

    「對於任意正數 ε, 如果有一個自然數 N,  N 可能是 ε 的函數,
      讓所有的 n≧N, 都能滿足 | a_n - A | < ε,
      我們就說 {a_n} 有極限 A (或者說 {a_n} 收斂到 A),
      簡記成 lim a_n = A. 」

後來稱 Cauchy 及 Weierstrass
將關於無窮大及無窮小的運算化為一系列等式的推導,
叫做極限的 ε-δ（ε-N）方法


其實關於序列極限的正確概念早在 1655 年由英國數學家沃利斯給出,
但是未被人們採用. 捷克數學家 Bolzano
在 1817 年也給出了序列收斂條件的正確表述,
可惜他的工作沒有廣泛為人所知.

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之前的歷史是這樣子的:

在中國的《莊子．天下篇》記載著戰國時代的名家公孫龍說過的一段話：
「一尺之棰, 日取其半, 萬世不竭」. 這其中就包含了極限的概念.
又如中國數學家所創的「割圓術」, 主要用來求取圓的面積,
以正多邊形的面積來逼近圓面積, 當正多邊形的邊數越多時,
其面積與圓面積的差就越小,
「割之又割以致於不可割, 則與圓合體而無所失矣」, 也利用了極限的概念.

古希臘人同樣也面臨到求圓面積的問題, 也是利用了內接正多邊形的方法,
但是當時對於極限的概念相當的模糊, 亦即無法解釋當 n→∞ 時,
究竟會發生什麼情形, 也因此在當時的歐多克索斯 (Eudoxus) 提出了「窮盡法」,
來取代模糊的極限概念, 而阿基米德把窮盡法成功地應用於面積計算,
可說是近代極限理論的雛形, 窮盡法的主要結論為：

    「給定兩個不同的數, 較大者減去一個超過其半的量,
      再從餘量中減去超過其半的量, 如此反覆進行, 到某個階段時,
      其餘量將少於原給兩數中較小者. 」


在 Newton 及 Leibniz 發展微積分時, 極限的概念仍是模糊不清的,
例如 Newton 稱變量的無窮小增量為「瞬」, 有時令它非零, 又時又令它為零,
Leibniz 的 dx、dy 也不能自圓其說.

但在其後來的發展過程中, 一開始雖然注意到極限理論並不嚴謹,
卻沒有給予完整的證明, 直到 Berkeley 對微積分的極限提出疑問,
後來 Cauchy 及 Weierstrass 才給予極限一個嚴謹的定義.
按之前的說法：「dx 為一個無窮小的數, 其不等於 0, 但是小於任何正數. 」
而這個說法違反了「Archimedes 性質」, 因此 Berkeley 當初提出質疑說：

    「dx 是一個無窮小的數, 那到底無窮小是不是一個數？
      如果是一個數, 那也只可能為 0 或不為 0,
      如果為 (f(x+h)-f(x))/h 等於 0/0, 並沒有意義, 如果不為0,
      那麼 h 又不可以隨意的省略. 」

最後 Berkeley 下結論說：

    「無窮小不是一個數, 它不是一個普通的數, 也不是小一點的數,
      更不為 0, 因此它是『已死數的幽靈』. 」

 (接上文)

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: 當時的幾何與分析學都歸結到實數算術的無矛盾性
: 然而隨著分析學研究的逐漸深入
: 發現實數系並不是如一般人所想的擁有邏輯基礎
: 例如當時無理數定義為有理數序列的極限
: 如果沒有有理數的定義就無法定義無理數
: 另一方面無理數與有理數在18世紀時統稱為代數數
: 並定義為有理係數方程的根
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: 1874年康托爾證明了超越數的存在
: 1882年林德曼證實pi是超越數
: 於是存在著兩類無理數
: 一種稱為代數無理數
: 一種稱為超越無理數
: 因此必須為無理數下一個定義
: (未完待續)

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