※ 引述《PttFund (批踢踢基金)》之銘言：
: (a_n)^2
: Show that Σa_n converges absolutely implies that Σ-------------
: 1 + (a_n)^2
: converges too.
證明: 因為 Σa_n converges absolutely
所以 Σ|a_n| converges => lim |a_n| = 0 ,
n→∞
給 ε = 1 , 按定義 , 存在 n_0 屬於 N , 使得 n ≧ n_0 時 ,
|a_n| < 1 => (|a_n|)^2 < |a_n|
=> (a_n)^2 < |a_n|
∞ ∞
=> Σ (a_n)^2 ≦ Σ |a_n|
n=n_0 n=n_0
由 Σ|a_n| converges
∞ ∞
=> Σ |a_n| converges => Σ |a_n| converges
n=1 n=n_0
∞
By comparison test , Σ (a_n)^2 converges
n=n_0
∞
所以 Σ (a_n)^2 converges => Σ(a_n)^2 converges
n=1
(a_n)^2 (a_n)^2
因為 Σ------------- ≦ Σ---------- = Σ(a_n)^2
1 + (a_n)^2 1 + 0
及 Σ(a_n)^2 converges , by comparison test
(a_n)^2
所以 Σ------------- converges
1 + (a_n)^2
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.66.173.21