推 cisg:是因為有理數r 不管是不是循環小數~都可以找到數列讓他像循環 12/31 21:36
→ cisg:小數~~取極限得到嗎? 像0.1 可以取 0.09 0.099 .... 12/31 21:37
→ apostol2000:yes, you can say that. 01/01 13:44
※ 引述《cisg (恍神中)》之銘言：
: 設一個函數 a: N -> Q Surjectiv, 試證:
: 所有 x 屬於 R 都是 實數數列 a 的 Limit punkt(accumulation point).
: ( N , Q, R是指自然數、有理數跟實數)
: 請高手解惑~~謝謝^^
: 原文是: (如果有人會德文的話= " = 我怕翻得太差= =")
: Es sei a: N -> Q surjektiv. Beweisen Sie, dass jedes x 屬於 R
: Haeufungspunkt der reellen Folge a ist.
這是告訴我們，我們有一個數列 {a_n：＝ a(n): n in |N} ＝ Q. (因 a 是 onto).
他要我們去證明有理數集合會在 |R 上稠密。也就是說，對於任意一個給定的實數 r,
我們一定找得到一個有理數所組成的數列 {q_n} 使得 q_n → r.
如果我們真的找到了一個有理數所組成的數列 {q_n} 使得 q_n → r, 那這就表示
{q_n} 是 {a_n} ＝ Q, 的子集，且 r 是 Q 的極限點(或稱為聚點).
那要如何去找？想想十進位表示法～假設你已經瞭解十進位表示法，那你應該會去問
為什麼十進位表示法是對的，我想這最終得回到實數系統的完備性。那就回到非常基
礎的數學上頭了。
給一個無理數 r（＜＝＞非循環小數）, r = a.a_1a_2a_3....
取 q_1 = a
q_2 = a.a_1
q_3 = a.a_1a_2, and so on.
顯然 q_n → r. (為什麼我不去討論有理數 r? 給你想一想)
NOTE. 極限點, limit point. 聚點 accumulation point. 運氣好的是，Rudin 跟
Apostol 這兩本高微講的名稱雖有所不同，但意義相同。
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