推 jimlucky:謝謝~看到量綱就會聯想到林琦焜老師^^|||| 01/18 10:59
※ 引述《jimlucky (......)》之銘言：
: OO
: ∫ {ln(1+x)/x^(1/2)+x^2 } dx
: 0
: 判斷收斂發散.....
命 f(x) ＝ {ln(1+x)/(x^(1/2)+x^2)}, 則易知 f(x)≧0 for all x in (0,∞).
欲判斷其斂散性，顯然要考慮兩個積分問題：(1) ∫_(0,1] 與 (2) ∫_[1,∞).
而 (1) 可由 f(x) ≦ (ln(1+x))/(x^(1/2)), 判斷此積分收斂。
而 (2) 可由 f(x) ≦ (ln(1+x))/(x^2), 判斷此積分收斂。
因此，上述暇積分必收斂。
NOTE. 面對 (1) 與 (2) 有一個很棒的量綱理由，由於現在我們侷限在一維度，
而且 ln 的量綱為 dimensionless.
因此 (1) 只要去看分母提供了 L^(-1/2), 在配合 dx 的量綱 L^1. 故
我們知道積分之量綱為 L^(1/2). 而此只需要考慮 L → 0.
面對 (2) 同理，此時積分量綱為 L^(-1). 而此只需要考慮 L → ∞.
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