※ 引述《plover (>//////<)》之銘言：
: x_1 + .. +x_n
: Let lim x_n = a, show that lim --------------- = a,
: n->∞ n->∞ n
: where a can be finite or infinite.
我們先來處理有限數的部分. 這個直接用 limit 的定義就可以了,
一般我們用定義的時候, 會先計算 |(x_1 + ... + x_n)/n - a|,
| x_1 + ... + x_n | |x_1-a| + ... + |x_n-a|
| ----------------- - a | ≦ -------------------------.
| n | n
然後用已經知道的條件: lim x_n = a, 所以我們有 for any ε>0,
n->∞
there is N such that |x_n - a| < ε whenever n≧N. 因此當 n≧N,
|x_1-a| + ... + |x_n-a| |x_1-a| + ... + |x_N-a| n-N
------------------------- ≦ ------------------------- + ----- ε
n n n
注意到分子 |x_1-a| + ... + |x_N-a| 其實是個固定下來的數字,
分母還是可以變動的數字 n, 因此我們可以讓 n 很大, 也就是說
there is N' such that (|x_1-a| + ... + |x_N-a|)/n < ε, 因此
| x_1 + ... + x_n |
| ----------------- - a | ≦ ε + ε = 2ε.
| n |
這樣子就證明差不多了, 雖然我們常看到有人把上面的 ε 取成 ε/2,
以配合上式會小於 ε, 但我覺得這些都是小細節, 只要是固定數乘以ε就夠了,
也就是比較廣義的 limit 定義 (跟之前的定義是一樣的! ):
lim x_n = a if for any ε > 0, there exists N, M such that
n->∞
| x_n - a | < Mε whenever n≧N.
這樣算是解決了嗎? 不! 我還有 a = +∞ 或 a = -∞ 的兩個情況沒有處理,
不過這兩個情況我就不多說了.
類題:
(*) If p_k > 0 and
p_n
lim ----------------- = 0, lim a_n = a,
n->∞ p_1 + ... + p_n n->∞
then
p_1a_n + p_2a_{n-1} + ... + p_na_1
lim ------------------------------------ = a.
n->∞ p_1 + ... + p_n
(*) 證明 lim (1 + 1/√2 + ... + 1/√n)/n = 0.
n->∞
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