※ 引述《iamagine (A-gine)》之銘言：
: Theroem11.13
: Let f be a vector function.
: If f is differentiable at a ,then f is continuous at a.
: Theroem11.14
: Let f be a vector function.
: If f is differentiable at a
: then all first-order partial derivatives of f exist at a.
: 這裡為什麼只能得到first-order partial derivatives存在?
: 而不是得到first-order partial derivatives存在而且在a點連續呢?
你只要問自己一個問題，單變數函數時，若 f 在 a 點可微，只能保證 f 在 a 點
連續，但不足以保證 f' 在 a 點是連續的。
例如：
f(x) ＝ x^2 sin (1/x) if x ≠ 0,
＝ 0 if x ＝ 0.
: Theorem11.15
: Let V be open set in |R^n
: Let a E V (a屬於V)
: Let f:V→|R^m
: If all first-order partial derivatives of f exist in V and are continuous at
: a,
: Then f is differentiable at a.
: 這裡的條件是要first-order partial derivatives在a點
: 不僅僅要存在，而且first-order partial derivatives在a點還要連續.
: 我想問的是，為什麼定理15的條件要強到：它偏導數在a點要連續?
: 只是存在的話，f在a點就不可微了嗎?
這裡提供給你一個觀念，所謂的偏導數，是沿著 e_n 方向的導數。也就是說，在 |R^n
裡，你只看了 a 這個點的 n 個方向。他不可能導告訴我們 f 在 a 點可微。事實上，
如果只知道 n 個方向導數於 a 點，連 f 是否於 a 點連續都不見得成立，更別提可微
性。
那為什麼我可以這樣看出來呢？ 那我們得知道何謂連續．．． 連續在一點 a, 這是指
你不需要限定方向，任意彎彎曲曲的走到 a 時，函數值必須被控制住地往 f(a) 走。
現在題目只有給你 f 在 n 個方向的行為，這樣的資訊太少了，因此無法決定 f 在 a
點是否連續，因此更不用去談可微了。
你或許會問那單變數呢? 因為單變數時，他只有兩個方向，即左導數跟右導數。所以，
可微必連續。
NOTE. 詳細的部分，你可以找 Apostol, 高微 Ch12 看一下一開始給的例子。但我個人
並不喜歡他在 12 章以及 13 章的多變數裡頭的編排。因為我迷失過，所以我比
較 Prefer 的是 Marsden 寫的部分，或者 Folland 寫的 Advanced Calculus.
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