假設 f(x) 是區間 [a,b] 上的囿變函數 (有界變差函數),
π = {x_0, x_1, ..., x_n} 是 [a,b] 的分割, 定義
A(π) = { k : f(x_k) - f(x_{k-1}) > 0 }
B(π) = { k : f(x_k) - f(x_{k-1}) < 0 }
且和數
p_f(a,b) = sup { Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) }
π k in A(π)
n_f(a,b) = sup { Σ ∣f(x_k) - f(x_{k-1})}
π k in B(π)
分別稱為 f(x) 在 [a,b] 上的正變差和負變差.
n
令 V(x) = sup { Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| : a = x_0 < ... < x_n = x},
1
p(x) = p_f(a,x), n(x) = n_f(a,x) 且令 V(a) = p(a) = n(a) = 0,
試證:
(1) V(x) = p(x)+n(x);
(2) 0 ≦ p(x) ≦ V(x), 以及 0 ≦ n(x) ≦ V(x);
(3) 在 [a,b] 上 p(x), n(x) 是增函數;
(4) f(x) = f(a) + p(x) - n(x);
(5) 2p(x) = V(x) + f(x) - f(a),
2n(x) = V(x) - f(x) + f(a);
(6) f(x) 的每個連續點也是 p(x) 和 n(x) 的連續點.
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