[分析] A={the rationals in [0,1]}的體積疑慮

[k6416337 (第一次獻給了涼宮版-光希)]

有一題是這樣的：
如果A_1,A_2,...有體積且A=(A_1)U(A_2)U...是有界的，則A有體積嗎?

解答是舉我標題寫的例子
設{r1,r2,...}是[0,1]區間內的有理數，令A_k={rk}。則每個A_k都是有體積的，而且是
體積0，所以測度0。但是A是沒體積的。所以答案是不一定。

這個可以套用Lebesgue's Thm的推論1"一個有界的集合A包含在|R^n裡，A有體積若且唯若A
的邊界點集合測度0"。

A是[0,1]之間所有有理數集合，所以A的邊界點集合是[0,1]。
很明顯，[0,1]在|R上不是測度0，由上面的推論1可以知道A是沒有體積的。---(1)

可是，前面有個定理(*)是"如果A_1,A_2,...在|R^n上是測度0，則A=(A_1)U(A_2)U...在
|R^n上也是測度0。"

根據體積的定義，定義出一個一個集合A包含在|R^n的特徵函數1_A:|R^n ->|R,

1_A(x)={1, x屬於A
       {0,x不屬於A.
我們說A有體積如果1_A是可積的，而且A的體積就是1_A在A上積分的結果。

根據Lebesgue's Thm"令A包含於|R^n是有界的且令f:A ->|R為有界函數。將f擴充到|R^n
上而且f在不屬於A的點都定義為0。則f是(黎曼)可積若且唯若擴充的f所有
不連續的點集合是測度0。"

現在這裡的1_A是討論在|R上
由Lebesgue's Thm，1_A不連續的點集合是A，A由定理(*)知道是測度0，所以1_A可積，A就
有體積。

這樣不就跟上面的(1)是互相矛盾的?那我該相信哪個?還是我的過程哪邊有誤?
或者，一開始的題目不該舉這個例子?還是題目的A本來就會有體積?

我疑惑太多了，昨天問重考一年學長他也不明，請高人指點

另外，再問一個跟題目不大相關的事情
我現在是在讀ELEMENTARY CLASSICAL ANALYSIS這本
可是我那個學長說他之前考台大就是讀這本，結果他說他死的很慘
因為根本就不會考到那麼難，如果真有題目考的有到|R^n至|R^m或一般的測度空間上，
那題八成死的很慘
雖然學校裡的參考書目有列出這本，不過考試的時候，不太會考成那樣
他說這句話讓我有點感覺我在浪費時間讀這本，我是不是該開始全力拼線代了?看來似乎
是如此

萬一這兩個月全力拼線代的結果是高微爛掉該怎辦?高微真的沒碰幾下就忘的很快耶~
有沒有93年交大高微第4題全數掛掉的八卦?
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http://0rz.tw/b42r6
禮奈：你看到了吧？
K1：沒...沒有啊，我什麼都不知道，哈哈(抓頭
禮奈：是這樣啊~
禮奈：http://0rz.tw/ef2uo 
蟬：唧唧唧唧唧唧唧唧唧唧......

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※ 編輯: k6416337        來自: 202.132.188.137      (01/01 11:37)
→ apostol2000:Jordan content!?
推 apostol2000:Jordan content and Lebesgue measurable set are
→ apostol2000:different
→ k6416337:可以再講詳細一點嗎?
推 ndc24075:Jordan Content和Lebsgue Measure的定義是不一樣的
→ ndc24075:而Jordan Content應該是你說Lebesgue Thm中的"體積"
→ ndc24075:而你後面說的可積是積出Measure,而非Jordan content
→ k6416337:可以麻煩用引用回覆的方式說一次嗎?抱歉我太笨了= =
→ mimichat:A bounded set is Jordan measurable if and only if
→ mimichat:its indicator function is Riemann-integrable
推 ndc24075:你的指標函數其實並不黎曼可積,他[0,1]處處不連續...