※ 引述《stberry (鮮紅)》之銘言：
: 這是rudin 3.19的習題
: 他說若有一sequence,{an}, an=0或2
: 那麼若x=Σ(an/3^(n)) 所有的x剛好是cantor set
: 請問這種問題該如何下手？1-1 and onto關係嗎？
: 謝謝~
(先說明一件事：這是我 N 年前寫的，所以不保證是對的）
∞
Let P ＝ ∩ E_n, be the Cantor set in Sec. 2.44.
n＝1
We will show that P ＝ {x(a)|Σ_[n＝1,∞] (α_n)/3^n}.
(i) If x in P, then x in E_n for all n in |N. Write x ＝ 0.a_1a_2a_3．．．
in ternary expansion. (*)
As x in E_1, we get a_1 ＝ 0 or 2.
As x in E_2, we get a_2 ＝ 0 or 2.
．．．．．．．
So, it is clear that a_i ＝ 0 or 2 for all i in |N.
That is, P is a subset of {x(a)|Σ_[n＝1,∞] (α_n)/3^n}.
(ii) If x in {x(a)|Σ_[n＝1,∞] (α_n)/3^n}, then x ＝ 0.a_1a_2a_3．．．,
where a_i ＝ 0 or 2 for all i in |N, by ternary expansion.
It is clear that x in E_n for all n in |N. So, x in ∩_[n＝1,∞] E_n
That is, x in P. So, {x(a)|Σ_[n＝1,∞] (α_n)/3^n} is a subset of P.
From (i) and (ii), we get P ＝ {x(a)|Σ_[n＝1,∞] (α_n)/3^n}.
NOTE. 這是鼎鼎大名的三進位表示法 (*), 也就是說：如果 x 屬於 Cantor set P,
則 x ＝ 0.a_1a_2a_3．．．a_n．．, 其中 a_i 只有可能是 0 或 2.
此外，我們注意到： 1/3 ＝ 0.1 ＝ 0.0222222222．．． 我們規定採用的
是 0.0222222222．．．表示 1/3 這一個點。也就是說，我們不允許某一個
位數之後全為 0. [1/3 顯然落在 P 上]
如何判斷某點是否是 Cantor set 中的點？
例如: 1/36 這點，我要如何判斷它是否屬於 Cantor Set 呢？
解釋: 考慮 x = (0,0,0,2,0,2,0,2,0,2,0,..) 三進位法依此類推
則 x = 2/3^4 + 2/3^6 + ... = 1/36.
所以, x 落在 Cantor set 上.
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◆ From: 122.116.231.200