※ 引述《allstarschh (allstars)》之銘言：
: 在Apostol Ch1 Sec.1.29定義了Integral power of Complex
: 1. z^0 = 1, z^(n+1) = z^n z ,if n >= 0
: 2. z^(-n) = (z^(-1))^n
: 我想問為什麼在1. 強調 if n >= 0呢?
: 大概了解z^-1 是個數字有點多的東西 see Definition 1.31
: 所以 當n=-10時 可能z^(-9) = z^(-10) z 會不成立
: 加了'可能'是因為我不太確定
: 但是在n= -1時
: z^(-1 + 1) = z^0 = 1
: z^-1 z = 1 (from Definition 1.31)
: => 所以當n=-1時 z^(n+1) = z^n z 也會成立
: 那他為什麼要加上n >= 0呢???
這個定義是step by step的
先定義z^0 = 1
然後用 z^(n+1) = z^n*z 來定義z的正整數次方 ( n>=0 )
然後再定義 z^-1
最後定義 z^(-n) = (z^-1)^n (n>0)
這樣就剛好把 z 的整數次方都定義完了
雖然 z^(n+1) = z^n*z 是個對任意n都成立的「性質」
不過只有在n>=0時，這個性質是直接來自於定義
在n<0時，這個性質是要從定義去證明出來的
至於為什麼不在定義中就把n<0包進去呢？
這是因為在這個step，z^-10是什麼意思都還沒定義
你去定義 z^-9 = z^-10 * z 根本沒有意義
反而有可能跟後面的定義發生矛盾
所以才會只先針對n的正整數的部份去做這個定義
然後接著才定義負整數的部份
: 2. 這如何証明呢?
: 本來用induction但 1.說 if n >= 0
: 所以有點不確定這樣會不會對..
: 請教一下大家 謝謝
請分清楚「定義」跟「定理」的區別
去「證明」一個定義通常是沒有意義的…
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※ 編輯: mantour 來自: 61.57.64.53 (01/03 11:53)