[分析] 如何証明這個f(x)可微?(己解決，謝謝大大們~)

[iamagine (A-gine)]

請問：

       ∞
 f(x)= Σ  _sin(nx)_   (sin(nx)除以n^3)
       n=1    n^3

証明 f(x) 可微，所有的 x 屬於 |R



麻煩板上的大大了>""<

謝謝大家~
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根據大大的提示，我重看了課本

不曉得這樣寫對不對，麻煩大大們幫我看>""<

謝謝大大


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[Pf]:

Let fn(x)= _sin(nx)_
　　　　　　 n^3

    fn'(x)= _cos(nx)_   所有x屬於|R   exist .
              n^2

                  ∞
∵ 0 屬於 |R  and Σfn(0) converges.
                 n=1
            ∞          ∞
  Let g(x)= Σ fn'(x) = Σ_cos(nx)_ converges uniformly.
                             n^2

∴ Then x屬於 |R ,the derivative f'(x) exists

             ∞           ∞
  and f'(x)= Σ fn'(x) =  Σ_cos(nx)_
                              n^2           ＃




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To高微課本：

  嗚~可不可以不要對我這麼嚴厲>""<

From:一直都學不好的我

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 163.23.231.86
→ perturb:級數被1/n^2控制，收斂。
推 pitching:uniformly convergence
推 math1209:要談可微, 單純的均勻收斂並不足夠.
→ math1209:因為微分性會把函數性質減弱. 所以要探討的是...
→ math1209:懶得用說的, 找一下 Apostol 高等微積分 ch9.
→ iamagine:剛查了一下Apostal看到Thm9.14，Assume at least one
→ iamagine:point x_0 in (a,b) the serise Σfn(x) converges
→ iamagine:這個部分讀不太懂>""<...它指的fn是什麼? 在這題裡只有
→ iamagine:f(x) ，麻煩大大講解，謝謝大大
推 math1209:他是指, 至少要有一點 x_0 帶入, 使 Σf_n(x_0) 收斂.
→ math1209:在你的例子裡, 這一點完全不需要考慮.
→ math1209:不應該說完全不需要考慮，而是說這是顯而易見．
→ iamagine:呃，我不太懂>""<顯而易見是??鳴~有困難~~
推 math1209:你把 0 帶入不就好了?
→ iamagine:但是...我不知道fn(x)是誰?
推 math1209:f_n(x) = sin (nx)/n^3.
→ iamagine:喔喔~ fn(0)=0 ，所以至少有0這一點是收斂了^^"
→ iamagine:接著是assume there exist a function g(x) s.t.
→ iamagine:Σfn'(x)=g(x) ，這個是指?
→ math1209:這個你自己看啦～ 如果這樣還看不懂，從頭看起 = =
→ math1209:畢竟才到 9.14 而已 = = 後面還有關於 Power series 內容
※ 編輯: iamagine        來自: 163.23.231.86        (02/05 16:18)
→ iamagine:我不曉得我醬寫對不對，麻煩大大幫我看看，謝謝板上大大們
※ 編輯: iamagine        來自: 163.23.231.86        (02/05 16:20)
※ 編輯: iamagine        來自: 163.23.231.86        (02/06 13:32)