Re: [分析] 高微一問

[math1209 (ww)]

※ 引述《pobm (妳會更快樂嗎?)》之銘言：
: Rudin p.101 20
: if E is a nonempty subset of a metric space X, define the distance from
: x belong in X to E by ρ(x) = inf d(x,z)
:                              z belong in E
: 請問如果x不在E的closure裡
: 我要怎麼知道是不是有個z在E裡使得ρ(x)=d(x,z) 亦或是ρ(x)是被取出來的極限呢?
: 取inf的時候常常沒辦法確定到底在不在裡面 >"<
: 謝謝^^

  我想你恐怕對 distance function 有所誤解，我們先有直覺，再根據直覺給出嚴格
  的數學定義。那何謂直覺？

  為了簡單，現在我們考慮在 x - y 平面上，假設我們 X ＝ |R^2, 且 E 是 x 軸.
  我們任挑平面上的點稱為 (a,b). 為了再方便，我們先讓點 p 為 (0,1).

  顯然地，這個點 p 不會躺在 x 軸 (E) 上， 那麼這個點 p 跟 E 有距離 1. 這個結
  果就相當於考慮 d(p,z) 中最短的距離 (for all z in E)。因此，我們才會取 inf.

  你問到了如果 x 不在 E 的 closure 的問題，事實上也只有 x 不在 E 的 closure,
  我們才會有大於 0 的距離，因為如果 x 落在 E 的 closure 上，那麼 x 跟 E 的距
  離會是 0. （＊）


  NOTE. (1) 你必須去瞭解 inf 的基本定義。
        (2) （＊）部分是一個簡單的練習題。此外，這個 distance function 是相
            當有用的，例如：Urysohn's lemma.
        (3) Distance function 另外一個妙用之處，在於他是引導證明 Riesz 表現
            定理最重要的一步。
        (4) etc.

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◆ From: 122.116.231.200
推 pobm:m大我知道只有在closure才會為零也知道inf的定義也看了你給的
→ pobm:例子 但是我還是不知道當我取到一個不等於零的
→ pobm:ρ(x)值時 是否有個z在E裡使ρ(x)=d(x,z) 或是ρ(x)是個極限
→ pobm:集合最大下界本來不一定會在集合裡不是嗎 我想問的是怎麼判斷
→ pobm:這個是不是
→ math1209:那個 z 不見得取得到，這要倚賴於 E 是什麼。例如：跟我
→ math1209:上述雷同，只是現在的 E 改成 |R x {0} \{0,0}, 即 x 軸
→ math1209:挖掉原點，那麼 p 跟這個 E 的距離依然是 1.
→ math1209:可是我們是在 E 上找不到 z 使 d(p,z) = 1.
→ math1209:ρ(x) 永遠是一個序列的極限點，即便你的 z 找得到。
→ math1209:注意到，我現在說的是序列的極限點，而非集合的極限點！
→ math1209:這兩件事，有些許不同。
推 pobm:嗯我知道了 謝謝m大耐心解釋舉例^^