※ 引述《PttFund (批踢踢基金只進不出)》之銘言：
: 請分析 x^r 在哪個區間均勻連續？
為了不扯到複數, 把焦點放在 [0,oo)
case1. r<0
取 {1/n} 是一 Cauchy seq. => (1/n)^r = n^|r|, {n^|r|} 非 Cauchy seq.
故 x^r 在 [0,oo) 上非均勻連續但在 [0,oo) 的每個緊緻子集上均勻連續
case2. 0≦r≦1
設 f(x) = x^r => f'(x) = r/x^(1-r) ≦ r whenever x in [1,oo)
故對任意正數 ε>0 且 x,y ≧1, 當 |x-y| < ε/r 時 =>
|f(x) - f(y)| = |f'(c)||x-y| ≦ r|x-y| < ε, 其中 c 介於 x,y 之間
故 x^r 在 [1,oo) 上均勻連續, 又 x^r 在緊緻集 [0,1] 上均勻連續
這兩件事可推得 x^r 在 [0,oo) 上均勻連續
case3. r>1
設 x^r 在 [0,oo) 上均勻連續, 取 ε=1 => 存在 δ>0 使得當 |x-y| < δ 時有
|x^r - y^r| < 1, 取 x = y + δ/2, y ≧ 0 =>
|x^r - y^r| = |rc^(r-1)||x-y|, 其中 y < c < x
= (δ/2)|rc^(r-1)| > (δ/2)|ry^(r-1)|
故當 y ≧ (2/rδ)^[1/(r-1)] 時有 |x^r - y^r| > 1, 這顯然矛盾
因此 x^r 在 [0,oo) 上非均勻連續但在 [0,oo) 的每個緊緻子集上均勻連續
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