※ 引述《jimlucky (......)》之銘言：
: OO
: ∫ {ln(1+x)/x^(1/2)+x^2 } dx
: 0
: 判斷收斂發散.....
∞
∫ ln(1+x)/[x^(1/2)+x^2] dx ( 分母應該是 x^(1/2)+x^2 吧 )
0
(1)
因為 lim ln(1+x)/[x^(1/2)+x^2] = 0
x-> 0
所以存在δ> 0 使得當 0<x<δ 時， ln(1+x)/[x^(1/2)+x^2] < 1
δ
得到 ∫ln(1+x)/[x^(1/2)+x^2] dx 是有限值。
0
(2)
計算 lim {ln(1+x)/[x^(1/2)+x^2]}/{1/x^(3/2)} = 0
x->∞
這說明了，存在 M > 0 使得當 x> M 時，有
ln(1+x)/[x^(1/2)+x^2] < 1/x^(3/2)
得到
∞ ∞
∫ ln(1+x)/[x^(1/2)+x^2] ≦ ∫ 1/x^(3/2) dx = 2*M^(1/2) < ∞ 為有限值。
M M
(3)
因為 ln(1+x)/[x^(1/2)+x^2] 在 [δ,M] 是連續函數，必可積。
又原被積函數在[0,∞) 是非負函數，故有一明顯下界0
故此積分值是有限的，不發散。
註：其實就是找一個可積輔助函數
/ 1 if x in [0,1]
F(x) = |
\ x^(-3/2) if x in [1,∞)
然後用比較審斂法即可。
所以得到此積分
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※ 編輯: chunchang 來自: 71.63.157.14 (01/12 10:21)