※ 引述《TaiwanBank (澳仔金控台灣分行)》之銘言：
: 假設 f(x) 是區間 [a,b] 上的囿變函數 (有界變差函數),
: π = {x_0, x_1, ..., x_n} 是 [a,b] 的分割, 定義
: A(π) = { k : f(x_k) - f(x_{k-1}) > 0 }
: B(π) = { k : f(x_k) - f(x_{k-1}) < 0 }
: 且和數
: p_f(a,b) = sup { Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) }
: π k in A(π)
: n_f(a,b) = sup { Σ ∣f(x_k) - f(x_{k-1})}
: π k in B(π)
: 分別稱為 f(x) 在 [a,b] 上的正變差和負變差.
: n
: 令 V(x) = sup { Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| : a = x_0 < ... < x_n = x},
: 1
: p(x) = p_f(a,x), n(x) = n_f(a,x) 且令 V(a) = p(a) = n(a) = 0,
: 試證:
: (1) V(x) = p(x)+n(x);
: (2) 0 ≦ p(x) ≦ V(x), 以及 0 ≦ n(x) ≦ V(x);
: (3) 在 [a,b] 上 p(x), n(x) 是增函數;
: (4) f(x) = f(a) + p(x) - n(x);
: (5) 2p(x) = V(x) + f(x) - f(a),
: 2n(x) = V(x) - f(x) + f(a);
: (6) f(x) 的每個連續點也是 p(x) 和 n(x) 的連續點.
證明: 本題證明之次序為 (2) , (3) , (5) , (1) , (4) , (6)
(2) 設 a < x ≦ b , 若 π 屬於 π[a , x]
且 π = {a = x_0 , x_1 , ... , x_n = x} , 則
n
Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) ≦ Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})|
k屬於A(π) k=1
=> Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) ≦ V(x)
k屬於A(π)
n
Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| ≦ Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})|
k屬於B(π) k=1
=> Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| ≦ V(x)
k屬於B(π)
因 π 為任意之分割 , 由 p(x) 與 n(x) 之定義即得
0 ≦ p(x) ≦ V(x) , 0 ≦ n(x) ≦ V(x)
(3) 設 a < x < y ≦ b
若 π 屬於 π[a,x] 則 π' = π∪{y} 為區間 [a,y] 之一分割 , 因此
Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) ≦ Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) ≦ p(y)
k屬於A(π) k屬於A(π')
Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| ≦ Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| ≦ n(y)
k屬於B(π) k屬於B(π')
因 π 為任意之分割 , 由 p(x) 與 n(x) 之定義即得
p(x) ≦ p(y) , n(x) ≦ n(y)
所以在 [a,b] 上 p(x) , n(x) 是增函數
(5) 設 a < x ≦ b ,
若 π 屬於 π[a,x] 且 π = {a = x_0 , x_1 , ...... , x_n = x} , 則
f(x) - f(a)
n
= Σ f(x_k) - f(x_{k-1})
k=1
= Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) + Σ f(x_k) - f(x_{k-1})
k屬於A(π) k屬於B(π)
= Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) - Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})|
k屬於A(π) k屬於B(π)
n
Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})|
k=1
= Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) + Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})|
k屬於A(π) k屬於B(π)
所以得到
n
2 Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) = Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| + f(x) - f(a)
k屬於A(π) k=1
n
2 Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| = Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| + f(a) - f(x)
k屬於B(π) k=1
因 π 為任意之分割 , 由 V(x) , p(x) 與 n(x) 之定義即得
2p(x) = V(x) + f(x) - f(a) , 2n(x) = V(x) + f(a) - f(x)
(1) 將(5)中之二式相加即得
2p(x) + 2n(x) = 2V(x) => V(x) = p(x) + n(x)
(4) 將(5)中之二式相減即得
2p(x) - 2n(x) = 2f(x) - 2f(a)
=> p(x) - n(x) = f(x) - f(a)
=> f(x) = f(a) + p(x) - n(x)
(6) 若 x_0 為 f 之連續點 , 則 x_0 為 V(x) 之連續點
因此由(5)知 x_0 亦為 p(x) 與 n(x) 之連續點
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