推 snaredrum:大師出手不同凡響...小的受教了.. 果然兩個都錯.. 01/15 08:22
※ 引述《snaredrum (好聽木琴)》之銘言：
: 如果一個函數 f(x) on [0,1] 每點都可以微分....
: 有沒有imply
: 1) f' 在[0,1]上面可積分? i.e.積分on [0,1] 是有界的
: 2) f 在 [0,1]上絕對連續?
: 感覺兩個都是錯的 可是不知道有什麼反例?
: 請各位高手賜教....
細節我就不寫了，我會提供出處。命 I ＝ [0,1].
For (1), 假設 f'(x) 存在 on I. 如果我們考慮的是 Riemann 積分，這不見得會
成立。即使 f' 有界 in I，f' 也未必是黎曼可積。
出處：Counterexamples in Analysis, p 107. (你應該知道哪一本)
所以我必須讓 (1) 是在 Lebesgue sense 底下談。倘若我們現在考慮在 Lebesgue
sense 底下，那麼一個習題：(1) 與 (2) 是等價。(這留給你)
我們要給一個例子：在 I 上，f' 存在且 f' 在 [0,1] 上不是 Lebesgue 可積。
f(x) ＝ x^2 sin (1/x^2) if x in (0,1]
＝ 0 if x ＝ 0.
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※ 編輯: math1209 來自: 122.116.231.200 (01/14 22:45)
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