※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: Suppose μ is a positive measure on X, f:X→[0,∞] is measurable,
: ∫ f = c , where 0 < c < ∞, and α is a constant. Prove that
: X
: lim ∫ n log [ 1 + (f/n)^α ] dμ = { c if α = 1
: n→∞ X 0 if 1 < α < ∞
: 目前以得到以下結果：
: α = 1 時，被積分函數收斂到f（當n→∞），再用LDCT，得極限值為c
: ∞ > α > 1 時，試圖用LDCT，但還沒找到可積分的上界函數，
: 我用多種方法，發現被積分函數並非遞增也非遞減
: 請版上高手提示......
(m = mu, a=alpha)
Lemma:
F >= 0 , phi遞增且為局部絕對連續(Ex: C^1) 則
積分 phi(F(x)) dm = 積分(0至無限大) phi'(y) m({F>y}) dy
故極限裡面的式子
= a 積分(0至無限大 (y/n)^(a-1) / [1+(y/n)^a] m({F>y}) dy
注意到
0 <= (y/n)^(a-1) / [1+(y/n)^a] <=1
故 |被積函數| <= m({F>y} 此為可積分，
( 仍是Lemma, 積分(0至無限大) m({F>y}) dy = 積分 f dm = c)
被積函數→ 1, if a=1
→ 0, if a>1
故極限為 積分(0至無限大) m({F>y}) dy = c, if a=1
0, if a>1
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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.68.24.68
※ 編輯: LimSinE 來自: 219.68.25.3 (12/20 20:18)