[分析] 一題高微

[pobm (Rafale)]

Rudin p.239 10

If f is real function defined in a convex open set E contained in R^n
such that [(D_1)(f)](x)=0 for every x belong in E, prove that f(x) depends
only on x_2,x_3,...,x_n
這個證出來了

但是他後面又問
Show that the convexity of E can be replaced by a weaker conditions
          ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
          這個不知道怎麼換 怎麼看convex都是成立的要件阿

我有懷疑過connect啦 不過他都說馬靴型狀的不行了

能否給個提示
謝謝^^

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◆ From: 58.114.195.195
※ 編輯: pobm            來自: 58.114.195.195       (06/01 01:05)
→ k6416337:piecewise connected?
推 math1209:只要水平能連就好(想想二維, 再延拓至高維度).
→ k6416337:既然有OPEN 我想其實樓上的跟我的是等價?
推 math1209:路徑連通不夠 =.=
→ k6416337:我的是片段直線連通 不是路徑
推 math1209:那還是行不通的 =.=
→ math1209:我們必須用水平連線去連，不可以用斜線 =.=
→ k6416337:有反例可以說沒有水平線的OPEN SET嗎?
→ k6416337:這題應該是需要用到高維度的均值定理吧?
推 math1209:對, 他要用的的確是均值定理. 你把這一題證明過一次
→ math1209:你就知道為什麼了 = =
→ k6416337:高維度的均值有規定要水平?
→ k6416337:我想我大概誤解D_1是啥了 是對第一個變數偏微分?
→ pobm:嗯~是對第一個變數偏微沒錯€
→ k6416337:那的確要水平 沒事了