Re: [分析] 連續函數一問

[wuxr (wuxr)]

※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之銘言：
: 這有一個很狡猾的方法
: Claim: fn在[-m,m]上converge uniformly to g
: (因此g在[-m,m]上連續 for all m，即g在R上連續)
: 為了要證Claim，想用Arzela Ascoli定理
: Check:(都是用均值定理)
: 1. uniformly bounded
: |fn(x)| = |fn(x) - fn(0)| <= 2|x-0| <= 2m
: 2. equicontinuous
: |fn(x)-fn(y)| <= 2|x-y| < epsilon if, |x-y|< epsilon/2
: 故可用Arzela Ascoli定理
: {fn}中任一子序列都存在一個子序列 converge uniformly 至某函數
: 然後fn 逐點收斂至g，故
: 這種converge uniformly的子序列當然是converge uniformly到 g
: 也就是我們證得：
: {fn}中任一子序列都存在子序列converge uniformly 至g
: 但其實由極限的性質，這樣就有 fn converge uniformly至 g
: ※ 引述《wuxr (wuxr)》之銘言：
: : 有勞各位先進了
: : {fn:R to R} function sequences such that fn is continuous for all n, x
: : and fn(0)=0 for all n, |fn'(x)|≦2 for all n, x
: : If lim fn(x)=g(x) for all x
: :     n
: : show that g is continuous.
: : 我的作法是這樣子
: : fix a
: : For any n
: : since fn is conti. at a
: : exist δ depends on n and a s.t |fn(x)-fn(a)|<ε/3  if |x-a|<δ
: : for any x in (a-δ, a+δ) since lim fn(x)=g(x) for all x
: : there is
: : n1 s.t |fn(x)-g(x)|  <ε/3 if n>n1
: : n2 s.t |fn(a)-g(a)|  <ε/3 if n>n2
: : choose n>n1 and n>n2
: : then |g(x)-g(a)|<|g(x)-fn(x)|+|fn(x)-fn(a)|+|fn(a)-g(a)|<ε
: : 請問這樣子對嗎？因為我沒有用到題目給的條件，覺得怪怪的！

如果改成這樣是否正確？

For |x-a|<ε/6

since lim fn(x)=g(x) for all x
there is
n1 s.t |fn(x)-g(x)|  <ε/3 if n>n1
n2 s.t |fn(a)-g(a)|  <ε/3 if n>n2

choose n>n1 and n>n2

there is c between x and a s.t |fn(x)-fn(a)|=|fn'(c)||x-a|≦2|x-a|<ε/3

then |g(x)-g(a)|<|g(x)-fn(x)|+|fn(x)-fn(a)|+|fn(a)-g(a)|<ε

hence g is conti. at a

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◆ From: 140.119.98.18
推 math1209:no!
→ wuxr:請問哪裡有誤，有勞了
推 math1209:你的n_1 會隨 x 動.
→ wuxr:是的，但是x選出來就固定，再取n1,讓|fn(x)-g(x)|  <ε/3 這
→ wuxr:樣是不行的嗎?
推 math1209:在|x-a|<ε/6, 不同的 x 配對的不同的 n_1(x).
→ math1209:你無法控制到你要的 choose n>n1(x) and n>n2.
推 math1209:Sorry, you are right.