※ 引述《hips (hips)》之銘言：
: f is complex measurable, u is a positive measure on X
: such that u(X) = 1.
: Assume |f|_∞ > 0.
: Assume |f|_r < ∞ for some r > 0.
: Prove that
(1) lim |f|_p = exp(∫log|f|du)
p->0
: ---
: 若是r<s,令ψ(x) = x^s/r,再對ψ及|f|^r用Jensen不等式
: 可以得到|f|_r < |f|_s, 所以上面的極限存在.
: 然後就不知道怎麼做了.
: (等號右邊的integrand好像不一定是L^1?
: 沒辦法套LDCT..)
: 謝謝~
我寫一下目前算的結果:
令 A = {x | |f(x)| > 0}.
若u(A) < 1, 則 exp(∫log|f|) = exp(-∞) = 0, 且
|f|_r ≦ u(A)^1/r*|f|_∞
所以|f|_r --> 0 as r --> 0.
(1)式成立.
(其實這裡有個問題,|f|_∞是否 < ∞, 不是的話怎麼辦?)
若u(A) = 1,不失一般性可以假設A = X.
因為|f|_r遞減,計算時可以把index r換成整數n.
首先, f(x) = x-1 是 logx 在x = 1時的切線,
且x-1 ≧ logx.
所以對所有x∈X, 以及δ>1, 存在N使得對所有n > N恆有
(2) |f(x)|^1/n - 1 <= δ(log|f(x)|)/n
令f_n(x) = |f(x)|^1/n - 1, g_n(x) = δ(log|f(x)|)/n
則
lim (∫|f|^n)^1/n = lim (∫|f|^1/n)^n
n->0 n->∞
= lim (1 + ∫|f|^1/n - 1)^n
n->∞
(3) <= lim (1 + 1/n∫δlog|f|)^n by (2) and LDCT
n->∞
= exp(∫δlog|f|) = exp(∫log|f|)^δ
for all δ >1.
令δ --> 1得到(1).
主要就是(3)式我一直覺得怪怪的,想法是這樣:
limf_n <= limg_n --> lim(1+∫f_n) = 1+∫limf_n
<= l+∫limg_n
= lim (1+∫g_n)
也不知道證明中要怎樣丟掉limit的的符號.
這是rudin習題沒錯,但是沒有hint耶QQ (3rd edition)
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